Determine e esboce a região de integração D e troque a ordem de integração das seguintes integrais.
\int_{0}^{1} \int_{y}^{\sqrt{y}} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá \displaystyle \int_{0}^{1}\!\int_{x=y}^{x=\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\,dy
logo a região de integração é
D=\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le y\le1,\;y\le x\le\sqrt{y}\bigr\}.
O objetivo é esboçar D e trocar a ordem de integração.

Passo 2

Identificamos as curvas que limitam D\): 1. A reta \(x=y\). 2. A curva \(x=\sqrt{y}\), que reescrevemos como \(y=x^2\) (para \(x\ge0\)). Elas se intersectam em \[\begin{cases} x=y,\\\ y=x^2, \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad y=y^2\;\Rightarrow\;y=0\text{ ou }y=1,
isto é, nos pontos (0,0)\] e \((1,1).

Passo 3

Para esboçar D:
  • Desenhe a reta y=x (ângulo de 45^\circ).
  • Desenhe a parábola y=x^2.
  • A região D fica entre essas duas curvas, para 0\le x\le1, ocupando a “fatia” onde x^2\le y\le x.

Passo 4

Para trocar a ordem façamos a projeção de D no eixo x. Vemos que x varia de 0 a 1. Num valor fixo de x\in[0,1], o y varia de baixo por y=x^2 até cima por y=x.
Logo a integral trocada é
\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^2}^{y=x}f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\boxed{\int_{0}^{1}\int_{y}^{\sqrt{y}}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}f(x,y)\,dy\,dx.}

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