Calcule as seguintes integrais curvilíneas de segunda espécie.
\int_{C} \cos y d x-\sin x d y, onde C é o segmento A B da bissetriz do segundo quadrante, se a bissetriz do ponto A é igual a 2 e a ordenada do ponto B é igual a 2. (Resposta: -2 \operatorname{sen}(2) )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de segunda espécie
\int_{C}\cos y\,dx \;-\;\sin x\,dy
ao longo de C, que é o segmento do ponto A até o ponto B sobre a bissetriz do segundo quadrante (reta de equação y=-x). O ponto A tem abscissa 2 e, por estar em y=-x, suas coordenadas são
A=(2,\,-2).
O ponto B tem ordenada 2 e, por y=-x, suas coordenadas são
B=(-2,\,2).
Para resolver, vamos parametrizar C, substituir em dx e dy e integrar.

Passo 2

Escolhemos um parâmetro t\in[0,1] que percorre C de A a B. Uma parametrização linear é
x(t)=2-4t, \quad y(t)=-2+4t.
Então
dx=-4\,dt, \quad dy=4\,dt.

Passo 3

Substituímos na integral:
\int_{C}\cos y\,dx-\sin x\,dy =\int_{0}^{1}\Bigl[\cos\bigl(y(t)\bigr)\,x'(t) \;-\;\sin\bigl(x(t)\bigr)\,y'(t)\Bigr]dt.
Como y(t)=-2+4t e x(t)=2-4t, isso fica
\int_{0}^{1}\Bigl[\cos(-2+4t)\,(-4) \;-\;\sin(2-4t)\,(4)\Bigr]dt.
Usamos \cos(-2+4t)=\cos(4t-2) e \sin(2-4t)=-\sin(4t-2), logo o integrando é
-4\cos(4t-2)-4\bigl(-\sin(4t-2)\bigr) =4\bigl[\sin(4t-2)-\cos(4t-2)\bigr].

Passo 4

Fazemos a substituição u=4t-2, de modo que quando t=0 temos u=-2 e quando t=1 temos u=2, e dt=du/4. A integral vira
\int_{-2}^{2}\bigl[\sin u-\cos u\bigr]\,du.
Calculamos
\int(\sin u-\cos u)\,du =-\cos u-\sin u,
portanto
\int_{-2}^{2}(\sin u-\cos u)\,du =\bigl[-\cos u-\sin u\bigr]_{-2}^{2} =-2\sin(2).

Resposta

-2\sin(2)

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