Calcule as seguintes integrais curvilíneas de segunda espécie.
, onde
é o segmento
da bissetriz do segundo quadrante, se a bissetriz do ponto
é igual a 2 e a ordenada do ponto
é igual a 2. (Resposta:
)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de segunda espécie
ao longo de
, que é o segmento do ponto
até o ponto
sobre a bissetriz do segundo quadrante (reta de equação
). O ponto
tem abscissa
e, por estar em
, suas coordenadas são
O ponto
tem ordenada
e, por
, suas coordenadas são
Para resolver, vamos parametrizar
, substituir em
e
e integrar.
Passo 2
Escolhemos um parâmetro
que percorre
de
a
. Uma parametrização linear é
Então
Passo 3
Substituímos na integral:
Como
e
, isso fica
Usamos
e
, logo o integrando é
Passo 4
Fazemos a substituição
, de modo que quando
temos
e quando
temos
, e
. A integral vira
Calculamos
portanto