\int\left(1+e^{-a t}\right)^{3 / 2} e^{-a t} d t, a>0

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \int(1+e^{-a t})^{3/2}e^{-a t}\,dt
com a>0. Para esse tipo de integral, a dica é usar uma substituição que simplifique a parte interna.

Passo 2

Definimos
u = 1 + e^{-a t}.
Diferenciando em relação a t,
du = -a\,e^{-a t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{-a t}\,dt = -\frac{1}{a}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int(1+e^{-a t})^{3/2}e^{-a t}\,dt = \int u^{3/2}\,\Bigl(-\tfrac{1}{a}\,du\Bigr) = -\tfrac{1}{a}\int u^{3/2}\,du.

Passo 4

Agora basta usar a regra de potência em \displaystyle \int u^{3/2}du: como 3/2+1=5/2,
\int u^{3/2}du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}\,u^{5/2}.

Passo 5

Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{a}, fica
-\tfrac{1}{a}\cdot\frac{2}{5}\,u^{5/2} = -\frac{2}{5a}\,u^{5/2}.
Voltando a t com u=1+e^{-a t}, encontramos a primitiva.

Resposta

-\frac{2}{5a}\bigl(1+e^{-a t}\bigr)^{5/2} + C.

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