Determine e esboce a Transformada de Fourier do seguinte sinal:
x(t)=sin (omega0 t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar e esboçar a Transformada de Fourier do sinal . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para analisar sinais no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções como o seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier de um sinal X(jomega) = integral-infty^+infty x(t) , e^-jomega t , dt é dada por:
Aqui, representa o sinal no domínio da frequência.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição ao nosso sinal sin(omega0 t) = e^jomega0 t - e^-jomega0 t2j . Antes de mais nada, precisamos lembrar que a função seno pode ser expressa usando os números imaginários através da fórmula de Euler:
Isso vai facilitar o cálculo da transformada.

Passo 4

Substituindo X(jomega) = integral-infty^+infty e^jomega0 t - e^-jomega0 t2j , e^-jomega t , dt na definição da Transformada de Fourier, temos:
X(jomega) = 12j [ integral-infty^+infty e^j(omega0 - omega)t , dt - integral-infty^+infty e^-j(omega0 + omega)t , dt ]
Vamos separar a integral:

Passo 5

Lembrando que:
integral-infty^+infty e^jalpha t , dt = 2pi de
onde X(jomega) = 12j [ 2pi de é a função delta de Dirac, que “pula” para valores onde .
Aplicando isso nas integrais:

Passo 6

Simplificando os termos:
X(jomega) = pij [ de
Podemos também expressar isso de maneira a ficar mais claro:
X(jomega) = pi [ -j de

Resposta

A Transformada de Fourier do sinal X(jomega) = pij [ de é:
Esse resultado indica que o sinal seno possui componentes de frequência nas posições e , representadas pelas funções delta de Dirac.

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