Determine e esboce a Transformada de Fourier do seguinte sinal:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar e esboçar a Transformada de Fourier do sinal
. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Fourier, que é uma ferramenta poderosa para analisar sinais no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada de Fourier e como aplicá-la a funções como o seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Fourier. A Transformada de Fourier de um sinal
é dada por:
Aqui,
representa o sinal no domínio da frequência.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição ao nosso sinal
. Antes de mais nada, precisamos lembrar que a função seno pode ser expressa usando os números imaginários através da fórmula de Euler:
Isso vai facilitar o cálculo da transformada.
Passo 4
Substituindo
na definição da Transformada de Fourier, temos:
Vamos separar a integral:
Passo 5
Lembrando que:
onde
é a função delta de Dirac, que “pula” para valores onde
.
Aplicando isso nas integrais:
Passo 6
Simplificando os termos:
Podemos também expressar isso de maneira a ficar mais claro:
Resposta
A Transformada de Fourier do sinal
é:
Esse resultado indica que o sinal seno possui componentes de frequência nas posições
e
, representadas pelas funções delta de Dirac.