Calcule as seguintes integrais indefinidas:
n)
o)
n)
o)
Passo 1
O enunciado pede para calcular duas integrais indefinidas: n) ∫ e^x √(1+e^x) dx e o) ∫ sec^3(x) tg(x) dx. O conteúdo necessário é a técnica de substituição (u-substituição) para transformar cada integral em uma forma mais simples antes de integrar.
Passo 2
Para resolver a integral n) ∫ e^x √(1+e^x) dx, note que dentro da raiz aparece 1+e^x e que o diferencial du de uma possível substituição envolvera e^x dx. Então, faça a substituição u=1+e^x, de modo que du=e^x dx. A integral se transforma em ∫√u du.
Agora integre em u: ∫√u du = ∫u^(1/2) du = (u^(3/2))/(3/2)+C = (2/3)u^(3/2)+C. Voltando para x, obtemos (2/3)(1+ex)(3/2)+C.
Agora integre em u: ∫√u du = ∫u^(1/2) du = (u^(3/2))/(3/2)+C = (2/3)u^(3/2)+C. Voltando para x, obtemos (2/3)(1+ex)(3/2)+C.
Passo 3
Para resolver a integral o) ∫ sec^3(x) tg(x) dx, observe que a derivada de sec(x) é sec(x)tg(x), presente no integrando. Então, faça a substituição u=sec(x), de onde du=sec(x)tg(x)dx. Além disso, sec^3(x)tg(x)dx = sec^2(x)·[sec(x)tg(x)dx] = sec^2(x) du.
Agora integre em u: ∫sec^2(x) du = ∫u^2 du = u^3/3 + C. Voltando para x, a solução é sec^3(x)/3 + C.
Agora integre em u: ∫sec^2(x) du = ∫u^2 du = u^3/3 + C. Voltando para x, a solução é sec^3(x)/3 + C.
Resposta
n) (2/3)(1+ex)(3/2) + C
o) sec^3(x)/3 + C
o) sec^3(x)/3 + C