O lucro diário
é a receita gerada
menos o custo de produção
. Suponha que, em certa fábrica, a receita gerada e o custo de produção sejam dados, em reais, pelas funções
e
, sendo
o número de itens produzidos no dia. Sabendo que a fábrica tem capacidade de produzir até 50 itens por dia. Determine:
$b) o intervalo onde a função lucro
é decrescente$.
$b) o intervalo onde a função lucro
Passo 1
O enunciado pede o intervalo em que o lucro diário L(x) é decrescente, sabendo que L(x)=R(x)−C(x), com R(x)=60x−x², C(x)=10(x+40) e domínio x∈[0,50]. Vamos usar a derivada para estudar a monotonicidade de L.
Passo 2
Primeiro montamos a expressão de L(x):
L(x)=R(x)−C(x)
Logo,
L(x)=60x−x²−10(x+40)
Passo 3
Agora calculamos a derivada de L(x) para identificar onde L’(x) é negativa. Usando a regra de potência e soma temos:
L’(x)=d/dx(−x²+50x−400)
L’(x)=−2x+50
Passo 4
Para que L(x) seja decrescente precisamos de L’(x)<0. Então resolvemos
−2x+50<0
−2x<−50
x>25
Passo 5
Como o domínio é 0≤x≤50, o lucro será estritamente decrescente sempre que x estiver entre 25 e 50.
Portanto, o intervalo em que L(x) é decrescente é x∈(25,50].
Portanto, o intervalo em que L(x) é decrescente é x∈(25,50].