Considere os sistemas descritos pelas seguintes funções de transferência:
G(s)=6s^2+6 s G(s)=5 s+10s^2+4 s+3 G(s)=10(s+5)(s^2+2 s+2)
(b) Considerando que os sistemas sejam alimentados por um sinal de entrada do tipo degrau unitário e que as condições iniciais são nulas, determine as respostas temporais para cada sistema.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar a resposta ao degrau unitário (entrada 1/s no domínio de Laplace) de três sistemas dados pelas funções de transferência. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace e Frações Parciais pra invertermos de volta pro tempo. Vamos precisar:
  1. Multiplicar cada por (que é a transformada do degrau).
  2. Decompor em frações parciais.
  3. Aplicar tabelas de inversa de Laplace.

Passo 2

Sistema 1:
G(s)=6s^2+6s=6s(s+6)
Então a saída em Laplace é
Y1(s)=G(s),1s=6s^2(s+6)
Fazemos fração parcial:
6s^2(s+6)=As+Bs^2+Cs+6
Multiplicando tudo por y1(t)=-tfrac16 + t + tfrac16 e^-6t =;t-1-e^-6t6 e igualando coeficientes dá
A = , B = 1, C = .
Invertendo cada parte:
  • ,
  • ,
  • .
    Logo

Passo 3

Sistema 2:
G(s)=5s+10s^2+4s+3 =5(s+2)(s+1)(s+3)
Então
Y2(s)=5(s+2)s(s+1)(s+3) =As+Bs+1+Cs+3
Calculando A, B, C dá
A=tfrac103, B=-tfrac52, C=-tfrac56
Invertendo:
y2(t) =103 -52,e^-t -56,e^-3t

Passo 4

Sistema 3:
G(s)=10(s+5)(s^2+2s+2) Longrightarrow Y3(s)=10s,(s+5),(s^2+2s+2)
Fazemos fração parcial
10s(s+5)(s^2+2s+2) =As+Bs+5+Cs+Ds^2+2s+2
Resolvendo dá
A=1, B=-217, C=-1517, D=-4017
Observa que Cs+D(s+1)^2+1 =-tfrac1517(s+1)-tfrac2517(s+1)^2+1 . Reescrevemos
y3(t) =1-217e^-5t -1517,e^-tcos t -2517,e^-tsin t
Na inversa de Laplace:
  • ,
  • .
Juntando tudo:

Resposta

y₁(t)=
y₂(t)=
y₃(t)=

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