Determine o espaço gerado pelos vetores
(1,0,0),(0,1,0) \text { e }(0,0,1)
em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^{3}:
v_{1}=(1,0,0),\qquad v_{2}=(0,1,0),\qquad v_{3}=(0,0,1).
Pede-se determinar o espaço gerado por esses vetores, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares de v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 2

Definição útil (explicada com calma): o espaço gerado por vetores v_{1},\dots,v_{k} — escrito \mathrm{span}\{v_{1},\dots,v_{k}\} — é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear
a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\cdots+a_{k}v_{k},
onde os coeficientes a_{1},a_{2},\dots,a_{k} são números reais quaisquer. Aqui cada a_{i} é um número real, e o resultado é um vetor em \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear geral dos três vetores dados:
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1).
Agora fazemos a soma coordenada a coordenada para ver o resultado explícito.

Passo 4

Somando coordenadas obtemos
a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)=(a,b,c).
Isto mostra que qualquer combinação linear desses três vetores tem a forma (a,b,c) com a,b,c\in\mathbb{R}.

Passo 5

Observação crucial: um vetor arbitrário de \mathbb{R}^{3} é qualquer tripla (x,y,z) com x,y,z\in\mathbb{R}. Tomando a=x, b=y, c=z na expressão anterior, vemos que todo vetor (x,y,z) de \mathbb{R}^{3} é uma combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3}. Portanto o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores contém todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Também é claro que qualquer combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} é um vetor de \mathbb{R}^{3}. Assim
\mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}=\mathbb{R}^{3}.

Passo 7

Complemento didático (útil na prova): esses vetores são linearmente independentes porque a igualdade
a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3}=(0,0,0)
implica (a,b,c)=(0,0,0), logo a=b=c=0. Assim v_{1},v_{2},v_{3} formam uma base de \mathbb{R}^{3} e o espaço gerado tem dimensão 3.

Resposta

\mathrm{span}\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}=\mathbb{R}^{3}

Exercícios relacionados