Determine o espaço gerado pelos vetores
em
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em
:
Pede-se determinar o espaço gerado por esses vetores, ou seja, o conjunto de todas as combinações lineares de
.
Passo 2
Definição útil (explicada com calma): o espaço gerado por vetores
— escrito
— é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como combinação linear
onde os coeficientes
são números reais quaisquer. Aqui cada
é um número real, e o resultado é um vetor em
.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear geral dos três vetores dados:
Agora fazemos a soma coordenada a coordenada para ver o resultado explícito.
Passo 4
Somando coordenadas obtemos
Isto mostra que qualquer combinação linear desses três vetores tem a forma
com
.
Passo 5
Observação crucial: um vetor arbitrário de
é qualquer tripla
com
. Tomando
,
,
na expressão anterior, vemos que todo vetor
de
é uma combinação linear de
. Portanto o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores contém todo
.
Passo 6
Também é claro que qualquer combinação linear de
é um vetor de
. Assim
Passo 7
Complemento didático (útil na prova): esses vetores são linearmente independentes porque a igualdade
implica
, logo
. Assim
formam uma base de
e o espaço gerado tem dimensão
.