Dar uma base e a dimensão do subespaço W do \mathbb{R}^{4} onde
W=\{(x, y, z, t) \mid x-y=z \text { e } x-3 y+t=0\}
Dica: z=x-y, t=-x+3 y,(x, y, z, t)=(x, y, x-y,-x+3 y)= (x, 0, x,-x)+(0, y,-y, 3 y)=x(1,0,1,-1)+y(0,1,-1,3) .{(1,0,1,-1),(0,1,-1,3)} é um conjunto gerador, também é L.I., pois os dois vetores não são proporcionais, portanto é uma base. Dimensão de W é 2 .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Dar uma base do subespaço W\subset\mathbb{R}^{4}.
  • Determinar a dimensão de W.
Informações dadas (condições que definem W):
  • W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x-y=z \text{ e } x-3y+t=0\}.
  • Ou seja, as duas equações que os vetores de W devem satisfazer são: x-y=z
x-3y+t=0

Passo 2

Vamos reescrever as restrições para expressar z e t em função de x e y. Isso transforma o sistema em forma paramétrica (muito útil para achar uma base).
Das equações temos diretamente:
z = x-y
t = -x+3y
Portanto um vetor genérico de W pode ser escrito como
(x,y,z,t) = (x,y,x-y,-x+3y).
Aqui estou escolhendo x e y como parâmetros livres (porque temos 4 incógnitas e 2 equações lineares independentes, então esperávamos 2 graus de liberdade).

Passo 3

Fatorando em relação a x e y obtemos uma combinação linear explícita:
(x,y,x-y,-x+3y) = x\,(1,0,1,-1) + y\,(0,1,-1,3).
Definindo os vetores
v_{1}=(1,0,1,-1),\qquad v_{2}=(0,1,-1,3),
temos que todo vetor de W é da forma x v_{1} + y v_{2}. Logo \{v_{1},v_{2}\} é um conjunto gerador de W (ou seja, \operatorname{span}\{v_{1},v_{2}\}=W).
Explicando rápido o conceito usado: “gerar” ou “span” significa que qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores geradores. Aqui mostrei isso explicitamente escrevendo um vetor arbitrário de W como x v_1 + y v_2.

Passo 4

Agora precisamos verificar se os vetores v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (L.I.). Se forem L.I., então são uma base de W (porque já geram W e são L.I.).
Testamos a independência resolvendo a equação
c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}=(0,0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
c_{1}\cdot 1 + c_{2}\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=0,
c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_{2}=0.
As duas primeiras coordenadas já dão c_{1}=0 e c_{2}=0. As outras coordenadas ficam automaticamente satisfeitas (verificação: terceira coordenada dá c_{1}\cdot1 + c_{2}\cdot(-1)=0 que é 0+0=0; quarta coordenada dá c_{1}(-1)+c_{2}3=0 que também é 0).
Como a única solução é c_{1}=c_{2}=0, os vetores são L.I.
Uma explicação alternativa simples (quando há só dois vetores): dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles for múltiplo escalar do outro. Aqui claramente v_{1} e v_{2} não são proporcionais (por exemplo, a segunda componente de v_{1} é 0 e a de v_{2} é 1), então não existe escalar \lambda com v_{1}=\lambda v_{2}.

Passo 5

Concluímos:
  • \{v_{1},v_{2}\}=\{(1,0,1,-1),(0,1,-1,3)\} gera W (span).
  • Esses vetores são linearmente independentes.
Portanto \{v_{1},v_{2}\} é uma base de W.
Definição usada: dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base. Como a base encontrada tem 2 vetores, a dimensão de W é 2.

Passo 6

Dica prática para a prova (curta e direta):
  • Dado um sistema linear que define um subespaço, escolha algumas variáveis como parâmetros livres, expresse as restantes em função deles, escreva o vetor genérico como combinação linear dos vetores que aparecem e então verifique independência (normalmente rápida quando há poucos vetores).
  • O número de parâmetros livres = dimensão do subespaço.

Resposta

Base: \{(1,0,1,-1),(0,1,-1,3)\}
Dimensão: 2

Exercícios relacionados