Dar uma base e a dimensão do subespaço
do
onde
Dica:
{(1,0,1,-1),(0,1,-1,3)} é um conjunto gerador, também é L.I., pois os dois vetores não são proporcionais, portanto é uma base. Dimensão de
é 2 .
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Dar uma base do subespaço
. - Determinar a dimensão de
.
Informações dadas (condições que definem
):
-
. - Ou seja, as duas equações que os vetores de
devem satisfazer são:
Passo 2
Vamos reescrever as restrições para expressar
e
em função de
e
. Isso transforma o sistema em forma paramétrica (muito útil para achar uma base).
Das equações temos diretamente:
Portanto um vetor genérico de
pode ser escrito como
Aqui estou escolhendo
e
como parâmetros livres (porque temos 4 incógnitas e 2 equações lineares independentes, então esperávamos 2 graus de liberdade).
Passo 3
Fatorando em relação a
e
obtemos uma combinação linear explícita:
Definindo os vetores
temos que todo vetor de
é da forma
. Logo
é um conjunto gerador de
(ou seja,
).
Explicando rápido o conceito usado: “gerar” ou “span” significa que qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores geradores. Aqui mostrei isso explicitamente escrevendo um vetor arbitrário de
como
.
Passo 4
Agora precisamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes (L.I.). Se forem L.I., então são uma base de
(porque já geram
e são L.I.).
Testamos a independência resolvendo a equação
Escrevendo coordenada a coordenada:
As duas primeiras coordenadas já dão
e
. As outras coordenadas ficam automaticamente satisfeitas (verificação: terceira coordenada dá
que é
; quarta coordenada dá
que também é
).
Como a única solução é
, os vetores são L.I.
Uma explicação alternativa simples (quando há só dois vetores): dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles for múltiplo escalar do outro. Aqui claramente
e
não são proporcionais (por exemplo, a segunda componente de
é
e a de
é
), então não existe escalar
com
.
Passo 5
Concluímos:
-
gera (span). - Esses vetores são linearmente independentes.
Portanto
é uma base de
.
Definição usada: dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base. Como a base encontrada tem 2 vetores, a dimensão de
é
.
Passo 6
Dica prática para a prova (curta e direta):
- Dado um sistema linear que define um subespaço, escolha algumas variáveis como parâmetros livres, expresse as restantes em função deles, escreva o vetor genérico como combinação linear dos vetores que aparecem e então verifique independência (normalmente rápida quando há poucos vetores).
- O número de parâmetros livres = dimensão do subespaço.
Resposta
Base:
Dimensão:
Dimensão: