(2,0 pts) Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 3 x-y+z=2 \\\ x-2 y-z=0 \\\\ 2 x+y+2 z=2 \end{array}\right.
a) Resolva o sistema utilizando o método da eliminação de Gauss, apresentando todas as etapas do escalonamento.
b) Classifique o sistema quanto à existência e unicidade de soluções (SPD, SPI ou SI), justificando com base na forma escalonada obtida.
c) Descreva o conjunto solução em forma paramétrica e interprete o significado dos parâmetros livres.
d) Utilizando o software GeoGebra (modo CAS ou gráfico 3D), resolva o sistema e descreva:
  • os comandos inseridos;
  • a forma da solução fornecida pelo software;
  • a interpretação geométrica do resultado, explicando como a posição relativa dos planos determina a classificação do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear (peguei as equações do enunciado):
\left\{\begin{array}{l} 3x - y + z = 2,\\[4pt] x - 2y - z = 0,\\[4pt] 2x + y + 2z = 2. \end{array}\right.
O que é pedido:
a) Resolver o sistema usando eliminação de Gauss, mostrando todas as etapas do escalonamento.
b) Classificar o sistema quanto à existência e unicidade de soluções (SPD, SPI ou SI), justificando pela forma escalonada.
c) Descrever o conjunto solução em forma paramétrica e interpretar o significado dos parâmetros livres.
d) Usar o GeoGebra (CAS ou 3D) para resolver e indicar: comandos inseridos; forma da solução fornecida pelo software; interpretação geométrica (posição relativa dos planos e como isso determina a classificação).]

Passo 2

Vou aplicar o método da eliminação de Gauss. Primeiro explicação rápida e amigável do método (aula mini):
  • Escreve-se a matriz aumentada do sistema e faz-se operações elementares nas linhas (trocar linhas, somar múltiplos de uma linha a outra, multiplicar linha por constante não nula) para alcançar uma forma escalonada (zeros abaixo de alguns pivôs).
  • Um pivô é o primeiro elemento não nulo de uma linha não-nula (normalmente na diagonal). Após escalonar, faz-se substituição regressiva para obter as incógnitas.
  • Se ao escalonar aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\ \dots\\\ 0 \mid b] com b\neq0, o sistema é inconsistente (SI).
  • Se o posto da matriz de coeficientes (nº de pivôs) for igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas, há solução única (SPD).
  • Se posto dos coeficientes = posto da aumentada < número de incógnitas, há infinitas soluções (SPI) e o número de parâmetros livres é \text{nº incógnitas} - \text{posto}ºó.
Agora faço passo a passo no concreto.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema (linhas correspondem às equações, colunas aos coeficientes de x,y,z e última coluna ao termo independente):
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 & \vline & 2\\[4pt] 1 & -2 & -1 & \vline & 0\\[4pt] 2 & 1 & 2 & \vline & 2 \end{pmatrix}.
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (essa é uma operação válida e facilita ter pivô 1 na primeira linha):
R_1 \leftrightarrow R_2. Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & \vline & 0\\[4pt] 3 & -1 & 1 & \vline & 2\\[4pt] 2 & 1 & 2 & \vline & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Elimino os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (uso a primeira linha para zerar primeiras entradas de R_2 e R_3).
Fazer R_2 := R_2 - 3R_1. Calculemos coordenada a coordenada:
  • Primeira coluna: 3 - 3\cdot 1 = 0.
  • Segunda coluna: -1 - 3\cdot(-2) = -1 +6 = 5.
  • Terceira coluna: 1 - 3\cdot(-1) = 1 +3 = 4.
  • Termo independente: 2 - 3\cdot 0 = 2.
Portanto R_2 vira [0\\\ 5\\\ 4\\ \vline\\\ 2].
Fazer R_3 := R_3 - 2R_1. Calculemos:
  • Primeira coluna: 2 - 2\cdot1 = 0.
  • Segunda coluna: 1 - 2\cdot(-2) = 1 +4 = 5.
  • Terceira coluna: 2 - 2\cdot(-1) = 2 +2 = 4.
  • Termo independente: 2 - 2\cdot0 = 2.
Portanto R_3 também vira [0\\\ 5\\\ 4\\ \vline\\\ 2].
Depois dessas operações a matriz é:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 5 & 4 & \vline & 2\\[4pt] 0 & 5 & 4 & \vline & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora elimino o elemento abaixo do pivô da segunda coluna. Faço R_3 := R_3 - R_2:
  • Segunda coluna: 5 - 5 = 0.
  • Terceira coluna: 4 - 4 = 0.
  • Termo independente: 2 - 2 = 0.
Logo R_3 fica a linha nula [0\\\ 0\\\ 0 \mid 0]. A matriz escalonada final é:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 & \vline & 0\\[4pt] 0 & 5 & 4 & \vline & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \vline & 0 \end{pmatrix}.
Essas são todas as etapas do escalonamento (troca de linhas e somas de múltiplos de linhas), apresentadas passo a passo.]

Passo 6

Interpretação da forma escalonada e classificação:
  • O número de pivôs (linhas não-nulas com primeiro elemento não-nulo) é 2: um pivô na coluna de x (linha 1) e outro na coluna de y (linha 2).
  • Portanto o posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2. A linha nula não aumenta o posto.
  • O termo independente na linha nula é 0, logo a matriz aumentada tem o mesmo posto: \operatorname{rank}([A\mid b])=2.
  • Temos 3 incógnitas ( x,y,z) e posto 2. Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<3, o sistema é possível e indeterminado: SPI (infinitas soluções).
    Isso justifica a classificação pedida no item (b).

Passo 7

Agora resolvo por substituição regressiva para obter a solução geral (item a e c juntos).
Da segunda linha escalonada temos:
5y + 4z = 2.
Isolando y,
y = \frac{2 - 4z}{5}.
Da primeira linha escalonada temos:
x - 2y - z = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2y + z.
Substituindo y em função de z,
x = 2\cdot\frac{2 - 4z}{5} + z = \frac{4 - 8z}{5} + \frac{5z}{5} = \frac{4 - 3z}{5}.
Introduzimos um parâmetro livre para a incógnita não-pivot (escolho z como parâmetro). Seja \\ t \in \mathbb{R} e defina z=t. Assim:
\boxed{\,x=\dfrac{4-3t}{5},\qquad y=\dfrac{2-4t}{5},\qquad z=t,\quad t\in\mathbb{R}\,}.
Em forma vetorial (bem útil para interpretar geometricamente):
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/5\\[4pt]2/5\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-3/5\\[4pt]-4/5\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.
Interpretação do parâmetro livre:
  • O parâmetro t é a coordenada livre z. Cada valor de t produz uma solução (x,y,z).
  • Como há um parâmetro livre, as soluções formam uma família unidimensional (uma reta) no espaço \mathbb{R}^3. Esse parâmetro percorre a reta de interseção dos três planos (ver item d).]

Passo 8

Interpretação geométrica e relação com a classificação (item d, parte conceitual):
  • Cada equação do sistema representa um plano em \mathbb{R}^3. O fato de a solução ter um parâmetro livre (uma dimensão de liberdade) indica que a interseção das três superfícies-planos é uma reta (uma curva de dimensão 1).
  • Algebraicamente isso veio porque o posto das matrizes é 2 (duas equações linearmente independentes) em um espaço de 3 incógnitas: espaço de soluções tem dimensão 3-2=1. Geometricamente, a interseção de planos em geral pode ser: ponto (se tres planos independentes com interseção única), reta (se há uma dependência que faz todos passarem pela mesma reta), plano (se três equações dependentes representam o mesmo plano) ou vazia (sem interseção comum). Aqui deu reta.

Passo 9

Como usar o GeoGebra (CAS e 3D) para obter o mesmo resultado e que comandos inserir; o que o software costuma retornar e como interpretar.
Sugestões de comandos para o GeoGebra CAS:
  • No campo CAS digitar:
\text{Solve}(\{\,3x - y + z = 2,\; x - 2y - z = 0,\; 2x + y + 2z = 2\,\},\{x,y,z\})
O GeoGebra CAS normalmente retorna uma solução paramétrica com um parâmetro livre (por exemplo t):
\{x \mapsto \tfrac{4-3t}{5},\; y \mapsto \tfrac{2-4t}{5},\; z \mapsto t\}.
Assim o software confirma a mesma forma paramétrica que obtivemos manualmente.
Sugestões no GeoGebra 3D (modo gráfico):
  • Criar os três planos inserindo as equações diretamente na barra de entrada, por exemplo:
p_1: 3x - y + z = 2
p_2: x - 2y - z = 0
p_3: 2x + y + 2z = 2
  • Em seguida, obter a interseção de dois planos:
l := \text{Intersect}(p_1,p_2)
o comando retorna uma reta l (representada em forma paramétrica pelo GeoGebra). Para verificar a terceira equação:
\text{Intersect}(l,p_3)
  • Se a interseção de l com p_3 for a própria reta l (ou GeoGebra indicar que todos pontos de l satisfazem p_3), isso mostra que o terceiro plano contém a mesma reta — logo os três planos têm interseção comum que é essa reta.
Forma da solução fornecida pelo software:
  • O GeoGebra CAS costuma dar exatamente a solução paramétrica com um parâmetro livre t (ou com outro nome de parâmetro), por exemplo:
\left(x,y,z\right)=\left(\tfrac{4-3t}{5},\tfrac{2-4t}{5},t\right).
  • No 3D, o GeoGebra desenha os três planos e a reta de interseção; ao pedir a interseção de dois planos, devolve uma reta que pode ser vista e, ao interceptar com o terceiro plano, confirma se o terceiro contém essa reta.
Interpretação geométrica do resultado (ligando com classificação):
  • O software exibe três planos cuja interseção comum é uma reta: isso corresponde a \operatorname{rank}=2 e portanto a um sistema SPI (infinitas soluções).
  • Se os três planos se cortassem em um único ponto, GeoGebra mostraria três planos concorrentes em um ponto (SPD).
  • Se não houvesse ponto em comum (uma posição onde as três não se intersectam), o GeoGebra mostraria planos que não têm interseção comum (SI).
    Portanto a posição relativa dos planos (todos três contendo a mesma reta comum) é a razão geométrica pela qual o sistema é SPI.

Resposta

a) A solução geral do sistema é \displaystyle x=\dfrac{4-3t}{5},\; y=\dfrac{2-4t}{5},\; z=t,\\ t\in\mathbb{R}.
b) Classificação: SPI (possível e indeterminado) — infinitas soluções.
c) Conjunto solução em forma paramétrica: \displaystyle \{(x,y,z)=\bigl(4/5,2/5,0\bigr)+t(-3/5,-4/5,1)\;:\;t\in\mathbb{R}\}. O parâmetro t representa a coordenada livre z e percorre a reta de interseção dos planos.
d) GeoGebra (exemplos de comandos e saída):
  • CAS: \text{Solve}(\{3x-y+z=2,\;x-2y-z=0,\;2x+y+2z=2\},\{x,y,z\}) → retorna \{x\mapsto(4-3t)/5,\;y\mapsto(2-4t)/5,\;z\mapsto t\}.
  • 3D: inserir \;p_1:3x-y+z=2,\;p_2:x-2y-z=0,\;p_3:2x+y+2z=2;; l:=Intersect(p_1,p_2)); \text{Intersect}(l,p_3) confirma que p_3 contém l. Forma da solução no software: reta paramétrica (4/5,2/5,0)+t(-3/5,-4/5,1). Interpretação geométrica: os três planos têm interseção comum que é uma reta, o que explica a existência de infinitas soluções (SPI).

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