a) Resolva o sistema utilizando o método da eliminação de Gauss, apresentando todas as etapas do escalonamento.
b) Classifique o sistema quanto à existência e unicidade de soluções (SPD, SPI ou SI), justificando com base na forma escalonada obtida.
c) Descreva o conjunto solução em forma paramétrica e interprete o significado dos parâmetros livres.
d) Utilizando o software GeoGebra (modo CAS ou gráfico 3D), resolva o sistema e descreva:
os comandos inseridos;
a forma da solução fornecida pelo software;
a interpretação geométrica do resultado, explicando como a posição relativa dos planos determina a classificação do sistema.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear (peguei as equações do enunciado):
\left\{\begin{array}{l} 3x - y + z = 2,\\[4pt] x - 2y - z = 0,\\[4pt] 2x + y + 2z = 2. \end{array}\right.
O que é pedido:
a) Resolver o sistema usando eliminação de Gauss, mostrando todas as etapas do escalonamento.
b) Classificar o sistema quanto à existência e unicidade de soluções (SPD, SPI ou SI), justificando pela forma escalonada.
c) Descrever o conjunto solução em forma paramétrica e interpretar o significado dos parâmetros livres.
d) Usar o GeoGebra (CAS ou 3D) para resolver e indicar: comandos inseridos; forma da solução fornecida pelo software; interpretação geométrica (posição relativa dos planos e como isso determina a classificação).]
Passo 2
Vou aplicar o método da eliminação de Gauss. Primeiro explicação rápida e amigável do método (aula mini):
Escreve-se a matriz aumentada do sistema e faz-se operações elementares nas linhas (trocar linhas, somar múltiplos de uma linha a outra, multiplicar linha por constante não nula) para alcançar uma forma escalonada (zeros abaixo de alguns pivôs).
Um pivô é o primeiro elemento não nulo de uma linha não-nula (normalmente na diagonal). Após escalonar, faz-se substituição regressiva para obter as incógnitas.
Se ao escalonar aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\ \dots\\\ 0 \mid b] com b\neq0, o sistema é inconsistente (SI).
Se o posto da matriz de coeficientes (nº de pivôs) for igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas, há solução única (SPD).
Se posto dos coeficientes = posto da aumentada < número de incógnitas, há infinitas soluções (SPI) e o número de parâmetros livres é \text{nº incógnitas} - \text{posto}ºó.
Agora faço passo a passo no concreto.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema (linhas correspondem às equações, colunas aos coeficientes de x,y,z e última coluna ao termo independente):
Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (essa é uma operação válida e facilita ter pivô 1 na primeira linha): R_1 \leftrightarrow R_2. Resultado:
Essas são todas as etapas do escalonamento (troca de linhas e somas de múltiplos de linhas), apresentadas passo a passo.]
Passo 6
Interpretação da forma escalonada e classificação:
O número de pivôs (linhas não-nulas com primeiro elemento não-nulo) é 2: um pivô na coluna de x (linha 1) e outro na coluna de y (linha 2).
Portanto o posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=2. A linha nula não aumenta o posto.
O termo independente na linha nula é 0, logo a matriz aumentada tem o mesmo posto: \operatorname{rank}([A\mid b])=2.
Temos 3 incógnitas (x,y,z) e posto 2. Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<3, o sistema é possível e indeterminado: SPI (infinitas soluções).
Isso justifica a classificação pedida no item (b).
Passo 7
Agora resolvo por substituição regressiva para obter a solução geral (item a e c juntos).
Da segunda linha escalonada temos:
5y + 4z = 2.
Isolando y,
y = \frac{2 - 4z}{5}.
Da primeira linha escalonada temos:
x - 2y - z = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2y + z.
Substituindo y em função de z,
x = 2\cdot\frac{2 - 4z}{5} + z = \frac{4 - 8z}{5} + \frac{5z}{5} = \frac{4 - 3z}{5}.
Introduzimos um parâmetro livre para a incógnita não-pivot (escolho z como parâmetro). Seja \\ t \in \mathbb{R} e defina z=t. Assim:
O parâmetro t é a coordenada livre z. Cada valor de t produz uma solução (x,y,z).
Como há um parâmetro livre, as soluções formam uma família unidimensional (uma reta) no espaço \mathbb{R}^3. Esse parâmetro percorre a reta de interseção dos três planos (ver item d).]
Passo 8
Interpretação geométrica e relação com a classificação (item d, parte conceitual):
Cada equação do sistema representa um plano em \mathbb{R}^3. O fato de a solução ter um parâmetro livre (uma dimensão de liberdade) indica que a interseção das três superfícies-planos é uma reta (uma curva de dimensão 1).
Algebraicamente isso veio porque o posto das matrizes é 2 (duas equações linearmente independentes) em um espaço de 3 incógnitas: espaço de soluções tem dimensão 3-2=1. Geometricamente, a interseção de planos em geral pode ser: ponto (se tres planos independentes com interseção única), reta (se há uma dependência que faz todos passarem pela mesma reta), plano (se três equações dependentes representam o mesmo plano) ou vazia (sem interseção comum). Aqui deu reta.
Passo 9
Como usar o GeoGebra (CAS e 3D) para obter o mesmo resultado e que comandos inserir; o que o software costuma retornar e como interpretar.
Sugestões de comandos para o GeoGebra CAS:
No campo CAS digitar:
\text{Solve}(\{\,3x - y + z = 2,\; x - 2y - z = 0,\; 2x + y + 2z = 2\,\},\{x,y,z\})
O GeoGebra CAS normalmente retorna uma solução paramétrica com um parâmetro livre (por exemplo t):
\{x \mapsto \tfrac{4-3t}{5},\; y \mapsto \tfrac{2-4t}{5},\; z \mapsto t\}.
Assim o software confirma a mesma forma paramétrica que obtivemos manualmente.
Sugestões no GeoGebra 3D (modo gráfico):
Criar os três planos inserindo as equações diretamente na barra de entrada, por exemplo:
p_1: 3x - y + z = 2
p_2: x - 2y - z = 0
p_3: 2x + y + 2z = 2
Em seguida, obter a interseção de dois planos:
l := \text{Intersect}(p_1,p_2)
o comando retorna uma reta l (representada em forma paramétrica pelo GeoGebra). Para verificar a terceira equação:
\text{Intersect}(l,p_3)
Se a interseção de l com p_3 for a própria reta l (ou GeoGebra indicar que todos pontos de l satisfazem p_3), isso mostra que o terceiro plano contém a mesma reta — logo os três planos têm interseção comum que é essa reta.
Forma da solução fornecida pelo software:
O GeoGebra CAS costuma dar exatamente a solução paramétrica com um parâmetro livre t (ou com outro nome de parâmetro), por exemplo:
No 3D, o GeoGebra desenha os três planos e a reta de interseção; ao pedir a interseção de dois planos, devolve uma reta que pode ser vista e, ao interceptar com o terceiro plano, confirma se o terceiro contém essa reta.
Interpretação geométrica do resultado (ligando com classificação):
O software exibe três planos cuja interseção comum é uma reta: isso corresponde a \operatorname{rank}=2 e portanto a um sistema SPI (infinitas soluções).
Se os três planos se cortassem em um único ponto, GeoGebra mostraria três planos concorrentes em um ponto (SPD).
Se não houvesse ponto em comum (uma posição onde as três não se intersectam), o GeoGebra mostraria planos que não têm interseção comum (SI).
Portanto a posição relativa dos planos (todos três contendo a mesma reta comum) é a razão geométrica pela qual o sistema é SPI.
Resposta
a) A solução geral do sistema é \displaystyle x=\dfrac{4-3t}{5},\; y=\dfrac{2-4t}{5},\; z=t,\\ t\in\mathbb{R}.
b) Classificação: SPI (possível e indeterminado) — infinitas soluções.
c) Conjunto solução em forma paramétrica: \displaystyle \{(x,y,z)=\bigl(4/5,2/5,0\bigr)+t(-3/5,-4/5,1)\;:\;t\in\mathbb{R}\}. O parâmetro t representa a coordenada livre z e percorre a reta de interseção dos planos.
d) GeoGebra (exemplos de comandos e saída):
3D: inserir \;p_1:3x-y+z=2,\;p_2:x-2y-z=0,\;p_3:2x+y+2z=2;; l:=Intersect(p_1,p_2)); \text{Intersect}(l,p_3) confirma que p_3 contém l. Forma da solução no software: reta paramétrica (4/5,2/5,0)+t(-3/5,-4/5,1). Interpretação geométrica: os três planos têm interseção comum que é uma reta, o que explica a existência de infinitas soluções (SPI).