Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a
em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o estado de tensão equivalente em um elemento que foi rotacionado $ H^{\circ} $ no sentido anti-horário. Isso está dentro da matéria de transformações de tensão, que ajuda a entender como as tensões mudam quando a orientação do elemento muda. Para resolver, vamos precisar usar as equações de transformação de tensão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as tensões que atuam em um elemento plano: temos a tensão normal no eixo $ x $ ($ \sigma_x $), a tensão normal no eixo $ y $ ($ \sigma_y
\tau_{xy} $). Quando o elemento é rotacionado, essas tensões mudam de valor. Nosso objetivo é encontrar as novas tensões $ \sigma’_x $, $ \sigma’y $ e $ \tau’{xy} $ após a rotação de $ H^{\circ} $.
Passo 3
A próxima coisa é usar as equações de transformação de tensão. Essas fórmulas nos dizem como calcular as novas tensões após uma rotação de ângulo $ \theta $ (no nosso caso, $ \theta = H^{\circ} $). As equações são:
Essas fórmulas transformam as tensões originais $ \sigma_x $, $ \sigma_y $ e $ \tau_{xy} $ nas novas tensões $ \sigma’_x $, $ \sigma’y $ e $ \tau’{xy} $ após a rotação.
Passo 4
Agora, vamos substituir o ângulo $ \theta $ por $ H^{\circ} $ nas equações. Assim, teremos:
Passo 5
Para simplificar, podemos usar as identidades trigonométricas:
Substituindo essas identidades nas equações, ficamos com:
Passo 6
Essas são as equações finais de transformação de tensão para um elemento rotacionado $ H^{\circ} $ anti-horário. Elas nos permitem calcular as novas tensões $ \sigma’_x $, $ \sigma’y $ e $ \tau’{xy} $ conhecendo as tensões originais e o ângulo de rotação.
Resposta
O estado de tensão equivalente após a rotação de $ H^{\circ} $ anti-horário é dado por: