Determine o estado de tensão equivalente em um elemento, se ele estiver orientado a H^circ em sentido anti-horário em relação ao elemento mostrado. Use as equações de transformação de tensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar o estado de tensão equivalente em um elemento que foi rotacionado $ H^{\circ} $ no sentido anti-horário. Isso está dentro da matéria de transformações de tensão, que ajuda a entender como as tensões mudam quando a orientação do elemento muda. Para resolver, vamos precisar usar as equações de transformação de tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as tensões que atuam em um elemento plano: temos a tensão normal no eixo $ x $ ($ \sigma_x $), a tensão normal no eixo $ y $ ($ \sigma_y x ã \tau_{xy} $). Quando o elemento é rotacionado, essas tensões mudam de valor. Nosso objetivo é encontrar as novas tensões $ \sigma’_x $, $ \sigma’y $ e $ \tau’{xy} $ após a rotação de $ H^{\circ} $.

Passo 3

A próxima coisa é usar as equações de transformação de tensão. Essas fórmulas nos dizem como calcular as novas tensões após uma rotação de ângulo $ \theta $ (no nosso caso, $ \theta = H^{\circ} $). As equações são:
theta
theta = H^circ
sigma'x = sigmax cos^2 theta + sigmay sin^2 theta + 2 tauxy sin theta cos theta
Essas fórmulas transformam as tensões originais $ \sigma_x $, $ \sigma_y $ e $ \tau_{xy} $ nas novas tensões $ \sigma’_x $, $ \sigma’y $ e $ \tau’{xy} $ após a rotação.

Passo 4

Agora, vamos substituir o ângulo $ \theta $ por $ H^{\circ} $ nas equações. Assim, teremos:
theta
H^circ
sigma'x = sigmax cos^2 H + sigmay sin^2 H + 2 tauxy sin H cos H

Passo 5

Para simplificar, podemos usar as identidades trigonométricas:
sin 2H = 2 sin H cos H
cos 2H = cos^2 H - sin^2 H
Substituindo essas identidades nas equações, ficamos com:
sigma'x = sigmax + sigmay2 + sigmax - sigmay2 cos 2H + tauxy sin 2H
sigma'y = sigmax + sigmay2 - sigmax - sigmay2 cos 2H - tauxy sin 2H
tau'xy = -sigmax - sigmay2 sin 2H + tauxy cos 2H

Passo 6

Essas são as equações finais de transformação de tensão para um elemento rotacionado $ H^{\circ} $ anti-horário. Elas nos permitem calcular as novas tensões $ \sigma’_x $, $ \sigma’y $ e $ \tau’{xy} $ conhecendo as tensões originais e o ângulo de rotação.

Resposta

O estado de tensão equivalente após a rotação de $ H^{\circ} $ anti-horário é dado por:
H^circ
sigma'x = sigmax + sigmay2 + sigmax - sigmay2 cos 2H + tauxy sin 2H
sigma'y = sigmax + sigmay2 - sigmax - sigmay2 cos 2H - tauxy sin 2H

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