Determine se existem ou não os limites a seguir.Em caso afirmativo,calcule o valor do limite.
p.) .

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite limxto 0 cosl(1/x^4r). O conteúdo é comportamento de funções trigonométricas com argumento que tende ao infinito, e vamos precisar lembrar que 1/x^4to +infty quando xto 0.

Passo 2

Como 1/x^4to +infty, o argumento de cos não se aproxima de um valor finito; em vez disso, ele percorre todos os valores reais grandes, fazendo com que cos(1/x^4) oscile entre -1 e 1. Não é suficiente dizer só que ela oscila: precisamos mostrar que não há um valor único que a expressão se aproxime.

Passo 3

Para demonstrar que não existe limite, escolhemos duas sequências (xn) e (yn) que convergem a 0 mas fazem cos(1/x^4) tender a valores diferentes. Por exemplo, se tomamos
xn = l(12pi nr)^1/4,
então
1/xn^4 = 2pi n implies cosl(1/xn^4r) = cos(2pi n) = 1

Passo 4

Já se tomamos
yn = l(1(2n+1)pir)^1/4,
então
1/yn^4 = (2n+1)pi implies cosl(1/yn^4r) = cosl((2n+1)pir) = -1

Passo 5

Como ambas as sequências xn e yn vão a 0, mas cos(1/xn^4)to1 e cos(1/yn^4)to -1, não há um único valor que a função aproxime quando xto0.

Resposta

O limite não existe.

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