Determine se existem pontos criticos para as funções abaixo. Verifique se esses pontos são de máximo e/ou de minimo:
f(x, y)=x^{3}+2 x y-3 x^{2}+y^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}
f(x,y)=x^{3}+2xy-3x^{2}+y^{2}+1
E pede:
  • Determinar se existem pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é zero).
  • Classificar cada ponto crítico: máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f(x,y).
  • Não há restrições no domínio (entende-se todo \mathbb{R}^2).

Passo 2

O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (explicação didática):
  • Um ponto (x,y) é crítico quando as derivadas parciais primeiras de f em relação a x e a y são ambas iguais a zero. Essas derivadas parciais juntas formam o gradiente \nabla f.
  • A derivada parcial em relação a x, \dfrac{\partial f}{\partial x}, trata y como constante; a derivada parcial em relação a y, \dfrac{\partial f}{\partial y}, trata x como constante.
Calcule as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+2y-6x
\frac{\partial f}{\partial y}=2x+2y
Agora impomos o sistema \nabla f=(0,0), ou seja:
\begin{cases} 3x^{2}+2y-6x=0,\\[4pt] 2x+2y=0. \end{cases}]

Passo 3

Resolver o sistema obtido (passo a passo):
  • Da segunda equação \;2x+2y=0\; isolamos y:
2x+2y=0\quad\Rightarrow\quad y=-x.
  • Substituímos y=-x na primeira equação:
3x^{2}+2(-x)-6x=0.
  • Simplificando:
3x^{2}-2x-6x=0 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}-8x=0.
  • Fatorando:
x(3x-8)=0.
Portanto as soluções para x são x=0 ou x=\dfrac{8}{3}. Como y=-x, os pontos críticos são:
(x,y)=(0,0)\quad\text{e}\quad\left(\dfrac{8}{3},-\dfrac{8}{3}\right).

Passo 4

Como classificar pontos críticos (aula rápida):
  • Calcula-se as segundas derivadas e monta-se a matriz Hessiana H.
  • Para funções de duas variáveis, usa-se o determinante de H no ponto crítico:
    • Se D=\det H>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
    • Se D<0 então ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.
  • Explicando símbolos:
    • f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} é a segunda derivada em x.
    • f_{xy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} e f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.
    • A Hessiana é \;H=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix}\; e seu determinante é D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}.
Calcule as segundas derivadas de f:
f_{xx}=6x-6,\qquad f_{xy}=2,\qquad f_{yy}=2.
O determinante da Hessiana vale, em função de x:
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(6x-6)\cdot 2 - 2^{2}=12x-12-4=12x-16.]

Passo 5

Classificação do ponto (0,0):
  • Avaliando em x=0:
D(0)=12\cdot 0 -16=-16<0.
  • Como D<0, pelo critério acima o ponto (0,0) é um ponto de sela (saddle point). Ou seja, não é máximo nem mínimo local.

Passo 6

Classificação do ponto \left(\dfrac{8}{3},-\dfrac{8}{3}\right):
  • Avaliando em x=\dfrac{8}{3}:
D\!\left(\tfrac{8}{3}\right)=12\cdot \tfrac{8}{3}-16=32-16=16>0.
  • Calcule f_{xx} nesse ponto:
f_{xx}\!\left(\tfrac{8}{3},-\tfrac{8}{3}\right)=6\cdot \tfrac{8}{3}-6=16-6=10>0.
  • Como D>0 e f_{xx}>0, concluímos que \left(\dfrac{8}{3},-\dfrac{8}{3}\right) é um mínimo local.
Opcional (para intuição): os valores da função nesses pontos são
f(0,0)=1, \qquad f\!\left(\tfrac{8}{3},-\tfrac{8}{3}\right)=\left(\tfrac{8}{3}\right)^{3}+2\cdot\tfrac{8}{3}\cdot\Big(-\tfrac{8}{3}\Big)-3\Big(\tfrac{8}{3}\Big)^{2}+\Big(-\tfrac{8}{3}\Big)^{2}+1,
que dá um número menor que 1, compatível com ser mínimo local (não é necessário calcular esse valor para a classificação, só ajuda a visualizar).

Resposta

(0,0) — ponto de sela\n \left(\dfrac{8}{3},-\dfrac{8}{3}\right) — mínimo local

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