Determine se existem pontos criticos para as funções abaixo. Verifique se esses pontos são de máximo e/ou de minimo:
Passo 1
O enunciado dá a função
E pede:
- Determinar se existem pontos críticos (ou seja, pontos onde o gradiente é zero).
- Classificar cada ponto crítico: máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
. - Não há restrições no domínio (entende-se todo
).
Passo 2
O que é um ponto crítico e como encontrá-lo (explicação didática):
- Um ponto
é crítico quando as derivadas parciais primeiras de em relação a e a são ambas iguais a zero. Essas derivadas parciais juntas formam o gradiente . - A derivada parcial em relação a
, , trata como constante; a derivada parcial em relação a , , trata como constante.
Calcule as derivadas parciais de
:
Agora impomos o sistema
, ou seja:
Passo 3
Resolver o sistema obtido (passo a passo):
- Da segunda equação
isolamos :
- Substituímos
na primeira equação:
- Simplificando:
- Fatorando:
Portanto as soluções para
são
ou
. Como
, os pontos críticos são:
Passo 4
Como classificar pontos críticos (aula rápida):
- Calcula-se as segundas derivadas e monta-se a matriz Hessiana
. - Para funções de duas variáveis, usa-se o determinante de
no ponto crítico: - Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
- Explicando símbolos:
-
é a segunda derivada em . -
e . - A Hessiana é
e seu determinante é .
-
Calcule as segundas derivadas de
:
O determinante da Hessiana vale, em função de
:
Passo 5
Classificação do ponto
:
- Avaliando em
:
- Como
, pelo critério acima o ponto é um ponto de sela (saddle point). Ou seja, não é máximo nem mínimo local.
Passo 6
Classificação do ponto
:
- Avaliando em
:
- Calcule
nesse ponto:
- Como
e , concluímos que é um mínimo local.
Opcional (para intuição): os valores da função nesses pontos são
que dá um número menor que
, compatível com ser mínimo local (não é necessário calcular esse valor para a classificação, só ajuda a visualizar).