Determine se existem pontos criticos para as funções abaixo. Verifique se esses pontos são de máximo e/ou de minimo:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte: determinar se existem pontos críticos da função
e, caso existam, verificar se esses pontos são de máximo e/ou de mínimo. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
é . - O domínio implícito é todo o plano, isto é
(a exponencial está definida para todos os reais). - A tarefa: (i) encontrar pontos críticos; (ii) classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 2
O que é um ponto crítico (lembrando devagarinho e com carinho)? Um ponto
é ponto crítico se as derivadas parciais primeiras existem e a condição
é satisfeita, ou seja, se
e
. Também seriam críticos pontos onde as derivadas não existem, mas aqui as derivadas existem em todo
porque
é composição de polinômio com exponencial — nada de drama aí.
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Use a regra da cadeia: a derivada de
em relação a uma variável é
.
Calcule
e
:
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
Substituindo as expressões obtidas:
Observação importante (teoria rápida): a função
, ou seja
. Portanto os fatores exponenciais nunca anulam a equação; a única forma das equações serem zero é que
e
.
Assim obtemos
Conclusão: existe exatamente um ponto crítico, que é
. Também anoto o valor da função nesse ponto:
Passo 4
Agora vamos classificar o ponto crítico. Método usado: teste da segunda derivada (teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Vou explicar a ideia: computamos as segundas derivadas parciais
e avaliamos no ponto crítico. Definimos o discriminante
No ponto crítico
:
- se
e então tem mínimo local em ; - se
e então tem máximo local; - se
então é ponto de sela; - se
o teste é inconclusivo.
Vamos calcular as segundas derivadas. Partindo de
, aplicamos regra do produto:
Calcule
:
Calcule
(análogo):
Calcule
(derivando
em relação a
):
Portanto o Hessiano pode ser escrito como
Passo 5
Avaliando as segundas derivadas no ponto crítico
:
Calcule o discriminante
:
Temos
e
. Pelo teste da segunda derivada, isso implica que
é um mínimo local.
Passo 6
Agora um passo extra de entendimento e motivação (útil para a prova): além de ser mínimo local, esse mínimo é, na verdade, global. Observe que para todo
tem-se
, portanto
Assim
é o menor valor que a função atinge em todo
; logo
é mínimo global. Não existe ponto de máximo porque
quando
(a exponencial cresce sem limite).
Passo 7
Resumo didático rápido para decorar e usar na prova:
- Encontre
e resolva . - Calcule
e o discriminante no ponto crítico. - Use sinais de
e para classificar. Se puder, verifique se o extremo é global olhando o comportamento da função no infinito ou comparando valores.
Resposta
Ponto crítico:
.
Classificação: mínimo (local e global).
Valor em :
.
Classificação: mínimo (local e global).
Valor em