Determine se existem pontos criticos para as funções abaixo. Verifique se esses pontos são de máximo e/ou de minimo:
f(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte: determinar se existem pontos críticos da função f e, caso existam, verificar se esses pontos são de máximo e/ou de mínimo. A função dada é
f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f é f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}.
  • O domínio implícito é todo o plano, isto é \mathbb{R}^{2} (a exponencial está definida para todos os reais).
  • A tarefa: (i) encontrar pontos críticos; (ii) classificar cada ponto crítico como máximo, mínimo ou ponto de sela.

Passo 2

O que é um ponto crítico (lembrando devagarinho e com carinho)? Um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico se as derivadas parciais primeiras existem e a condição
\nabla f(x_0,y_0) = \mathbf{0}
é satisfeita, ou seja, se f_x(x_0,y_0)=0 e f_y(x_0,y_0)=0. Também seriam críticos pontos onde as derivadas não existem, mas aqui as derivadas existem em todo \mathbb{R}^2 porque f é composição de polinômio com exponencial — nada de drama aí.
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras. Use a regra da cadeia: a derivada de e^{u} em relação a uma variável é e^{u}\cdot u'.
Calcule f_x e f_y:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}e^{x^{2}+y^{2}} = e^{x^{2}+y^{2}}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) = e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}+y^{2}}.
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}e^{x^{2}+y^{2}} = e^{x^{2}+y^{2}}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}) = e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y = 2y\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema \nabla f=(0,0)\), isto é \[\begin{cases} f_x(x,y)=0,\\[4pt] f_y(x,y)=0. \end{cases}
Substituindo as expressões obtidas:
\begin{cases} 2x\,e^{x^{2}+y^{2}}=0,\\[4pt] 2y\,e^{x^{2}+y^{2}}=0. \end{cases}
Observação importante (teoria rápida): a função \displaystyle e^{x^{2}+y^{2}}\] é sempre positiva para todo \((x,y), ou seja \displaystyle e^{x^{2}+y^{2}}>0. Portanto os fatores exponenciais nunca anulam a equação; a única forma das equações serem zero é que 2x=0 e 2y=0.
Assim obtemos
x=0,\qquad y=0.
Conclusão: existe exatamente um ponto crítico, que é (0,0). Também anoto o valor da função nesse ponto:
f(0,0)=e^{0^{2}+0^{2}}=e^{0}=1.]

Passo 4

Agora vamos classificar o ponto crítico. Método usado: teste da segunda derivada (teste do Hessiano) para funções de duas variáveis. Vou explicar a ideia: computamos as segundas derivadas parciais f_{xx},f_{yy},f_{xy} e avaliamos no ponto crítico. Definimos o discriminante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
No ponto crítico (x_0,y_0):
  • se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)>0 então f tem mínimo local em (x_0,y_0);
  • se D(x_0,y_0)>0 e f_{xx}(x_0,y_0)<0 então f tem máximo local;
  • se D(x_0,y_0)<0 então é ponto de sela;
  • se D(x_0,y_0)=0 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular as segundas derivadas. Partindo de f_x=2x\,e^{x^{2}+y^{2}}, aplicamos regra do produto:
Calcule f_{xx}:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\,e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) =2\,e^{x^{2}+y^{2}} + 2x\cdot e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x = \bigl(2+4x^{2}\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Calcule f_{yy} (análogo):
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y\,e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) = \bigl(2+4y^{2}\bigr)\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Calcule f_{xy} (derivando f_x em relação a y):
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\,e^{x^{2}+y^{2}}\bigr) =2x\cdot e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y =4xy\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Portanto o Hessiano pode ser escrito como
H(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}} \begin{pmatrix} 2+4x^{2} & 4xy\\[4pt] 4xy & 2+4y^{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Avaliando as segundas derivadas no ponto crítico (0,0):
f_{xx}(0,0)=\bigl(2+4\cdot 0^{2}\bigr)e^{0}=2, \qquad f_{yy}(0,0)=\bigl(2+4\cdot 0^{2}\bigr)e^{0}=2, \qquad f_{xy}(0,0)=4\cdot 0\cdot 0\cdot e^{0}=0.
Calcule o discriminante D(0,0):
D(0,0)=f_{xx}(0,0)\,f_{yy}(0,0)-\bigl(f_{xy}(0,0)\bigr)^{2}=2\cdot 2 - 0^{2}=4.
Temos D(0,0)>0 e f_{xx}(0,0)=2>0. Pelo teste da segunda derivada, isso implica que (0,0) é um mínimo local.

Passo 6

Agora um passo extra de entendimento e motivação (útil para a prova): além de ser mínimo local, esse mínimo é, na verdade, global. Observe que para todo (x,y)\neq(0,0) tem-se x^{2}+y^{2}>0, portanto
f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}>e^{0}=1=f(0,0).
Assim f(0,0) é o menor valor que a função atinge em todo \mathbb{R}^{2}; logo (0,0) é mínimo global. Não existe ponto de máximo porque f(x,y)\to+\infty quando \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to+\infty (a exponencial cresce sem limite).

Passo 7

Resumo didático rápido para decorar e usar na prova:
  • Encontre \nabla f e resolva \nabla f=\mathbf{0}.
  • Calcule f_{xx},f_{yy},f_{xy} e o discriminante D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} no ponto crítico.
  • Use sinais de D e f_{xx} para classificar. Se puder, verifique se o extremo é global olhando o comportamento da função no infinito ou comparando valores.

Resposta

Ponto crítico: (0,0).
Classificação: mínimo (local e global).
Valor em (0,0): f(0,0)=1.

Exercícios relacionados