Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função f(x, y, z)=x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2} sujeita à restrição x y=1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e de mínimo da função f(x,y,z)=x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2} sujeitos à restrição x y=1.
Informações e o que é pedido:
  • Função a ser investigada: f(x,y,z)=x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2}.
  • Restrição: x y=1. Portanto x e y não podem ser zero.
  • Perguntas: quais são os pontos (se existirem) de mínimo e de máximo de f quando (x,y,z) varia sobre o conjunto definido por x y=1.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicada de forma simples): a restrição x y=1 é uma equação que permite isolar uma variável em função da outra (por exemplo x=1/y ou y=1/x). Isso transforma o problema restrito num problema sem restrição com menos variáveis (substituição direta). Esse método é elementar e resulta em contas simples aqui, por isso é o escolhido. Outra opção teria sido multiplicadores de Lagrange; daria o mesmo resultado, mas a substituição é mais direta neste caso.

Passo 3

Aplicando a substituição x=\dfrac{1}{y} (válida porque y\neq0 pela restrição), obtemos uma função em duas variáveis y e z:
f\!\left(\frac{1}{y},y,z\right)=\left(\frac{1}{y}\right)^{2}+4y^{2}+16z^{2}.
Portanto, definimos a função reduzida
F(y,z)=\frac{1}{y^{2}}+4y^{2}+16z^{2},\qquad y\neq0.
Isso é apenas f restrita à curva definida pela restrição, reescrita em termos de y e z.

Passo 4

Procurando pontos críticos de F(y,z). Primeiro calculamos as derivadas parciais.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{d}{dy}\!\left(y^{-2}\right)+\frac{d}{dy}\!(4y^{2}) = -2y^{-3}+8y.
Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial F}{\partial z} = \frac{d}{dz}\!(16z^{2}) = 32z.
Agora impomos as condições de ponto crítico \dfrac{\partial F}{\partial y}=0 e \dfrac{\partial F}{\partial z}=0.
Da segunda equação:
32z=0 \quad\Rightarrow\quad z=0.
Da primeira equação:
-2y^{-3}+8y=0.
Multiplicando ambos os lados por y^{3} (permitido porque y\neq0):
-2+8y^{4}=0 \quad\Rightarrow\quad 8y^{4}=2 \quad\Rightarrow\quad y^{4}=\frac{1}{4}.
Tomando raízes:
y^{2}=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.
Para cada y encontramos x pela restrição x=\dfrac{1}{y}:
  • Se y=\dfrac{1}{\sqrt{2}} então x=\sqrt{2}.
  • Se y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} então x=-\sqrt{2}.
    E já temos z=0.
Assim os candidatos críticos são
(\,x,y,z\,)=\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)\quad\text{e}\quad\left(-\sqrt{2},-\frac{1}{\sqrt{2}},0\right).

Passo 5

Classificação dos pontos críticos (por que são mínimos): a função F é separável em y e z:
F(y,z)=g(y)+h(z),\qquad g(y)=\frac{1}{y^{2}}+4y^{2},\quad h(z)=16z^{2}.
Para h(z) temos
h''(z)=\frac{d^{2}}{dz^{2}}(16z^{2})=32>0,
portanto h é convexa e tem mínimo global em z=0.
Para g(y) calculamos a segunda derivada:
g'(y)=-2y^{-3}+8y, \qquad g''(y)=6y^{-4}+8.
Em y^{2}=\dfrac{1}{2} temos y^{4}=\dfrac{1}{4}, então
g''(y)=6\cdot\frac{1}{y^{4}}+8=6\cdot4+8=24+8=32>0.
Logo g também é convexa naquele ponto e o ponto crítico em y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} é mínimo em relação a y.
Como F é soma de duas funções que são minimizadas respectivamente em y=\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} e z=0, concluímos que os dois pontos críticos encontrados são pontos de mínimo restrito (ambos dão o mesmo valor de F).
Valor mínimo da função: avaliando em qualquer um dos pontos:
f\!\left(\sqrt{2},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)=(\sqrt{2})^{2}+4\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}+16\cdot0^{2}=2+4\cdot\frac{1}{2}+0=2+2=4.
O outro ponto dá o mesmo valor 4.
Não existe ponto de máximo: a função é não limitada superiormente na região de restrição. Por exemplo, tomando y\to0^{+} faz x=1/y\to+\infty e então f cresce sem limite por causa do termo x^{2}. Também pode-se aumentar z sem restrição para tornar 16z^{2} arbitrariamente grande. Portanto não há máximo global sujeito à restrição.

Resposta

Pontos de mínimo: \left(\sqrt{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right) e \left(-\sqrt{2},-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right), com valor mínimo 4.
Ponto de máximo: não existe (função não é limitada superiormente sob a restrição).

Exercícios relacionados