Encontre os pontos de máximo e de mínimo da função
sujeita à restrição
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e de mínimo da função
sujeitos à restrição
.
Informações e o que é pedido:
- Função a ser investigada:
. - Restrição:
. Portanto e não podem ser zero. - Perguntas: quais são os pontos (se existirem) de mínimo e de máximo de
quando varia sobre o conjunto definido por .
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicada de forma simples): a restrição
é uma equação que permite isolar uma variável em função da outra (por exemplo
ou
). Isso transforma o problema restrito num problema sem restrição com menos variáveis (substituição direta). Esse método é elementar e resulta em contas simples aqui, por isso é o escolhido. Outra opção teria sido multiplicadores de Lagrange; daria o mesmo resultado, mas a substituição é mais direta neste caso.
Passo 3
Aplicando a substituição
(válida porque
pela restrição), obtemos uma função em duas variáveis
e
:
Portanto, definimos a função reduzida
Isso é apenas
restrita à curva definida pela restrição, reescrita em termos de
e
.
Passo 4
Procurando pontos críticos de
. Primeiro calculamos as derivadas parciais.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Agora impomos as condições de ponto crítico
e
.
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Multiplicando ambos os lados por
(permitido porque
):
Tomando raízes:
Para cada
encontramos
pela restrição
:
- Se
então . - Se
então .
E já temos.
Assim os candidatos críticos são
Passo 5
Classificação dos pontos críticos (por que são mínimos): a função
é separável em
e
:
Para
temos
portanto
é convexa e tem mínimo global em
.
Para
calculamos a segunda derivada:
Em
temos
, então
Logo
também é convexa naquele ponto e o ponto crítico em
é mínimo em relação a
.
Como
é soma de duas funções que são minimizadas respectivamente em
e
, concluímos que os dois pontos críticos encontrados são pontos de mínimo restrito (ambos dão o mesmo valor de
).
Valor mínimo da função: avaliando em qualquer um dos pontos:
O outro ponto dá o mesmo valor
.
Não existe ponto de máximo: a função é não limitada superiormente na região de restrição. Por exemplo, tomando
faz
e então
cresce sem limite por causa do termo
. Também pode-se aumentar
sem restrição para tornar
arbitrariamente grande. Portanto não há máximo global sujeito à restrição.
Resposta
Pontos de mínimo:
e
, com valor mínimo
.
Ponto de máximo: não existe (função não é limitada superiormente sob a restrição).
Ponto de máximo: não existe (função não é limitada superiormente sob a restrição).