Determine, se existir, a derivada da função f nos pontos indicados a, b e c. Caso não exista, justifique. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2 x+1, & x<0 \\\ x^{2}+1, & 0 \leq x \leq 2 \\\\ 3, & x>2\end{array} \quad a=0, \quad b=2, \quad c=1\right.
e pede para determinar, se existir, a derivada de f nos pontos a=0, b=2 e c=1.
Informações relevantes dadas:
Para x<0 a expressão é 2x+1.
Para 0\le x\le 2 a expressão é x^{2}+1.
Para x>2 a expressão é 3.
Os pontos de interesse estão em manchas diferentes da definição: a=0 é o ponto de mudança entre a primeira e a segunda expressão; b=2 é o ponto de mudança entre a segunda e a terceira expressão; c=1 está estritamente dentro da segunda expressão.]
Passo 2
O que é preciso checar para decidir se f'(x_0) existe num ponto x_0:
Definição de derivada: \displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, quando esse limite existe. Esse limite é o mesmo que exigir que os limites laterais existam e coincidam:\text{derivada existe} \iff \lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.
Uma consequência importante: se f é diferenciável em x_0 então f é contínua em x_0. Assim, se f não for contínua em x_0 já podemos concluir que a derivada não existe.
Regras rápidas para derivadas de funções simples (úteis aqui):
A derivada de uma reta ax+b é a.
A derivada de x^{2} é 2x.
A derivada de uma constante é 0.
Essas regras podem ser justificadas pelo limite da definição; quando for útil eu mostro o cálculo passo a passo.
Passo 3
Cálculo da derivada em c=1 (ponto interior da segunda peça).
Como 1 está estritamente em 0\le x\le 2, ao calcular f'(1) podemos usar a expressão f(x)=x^{2}+1 para x próximos de 1.
Aplicando a definição (mostrando o passo do limite):f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^{2}+1-(1^{2}+1)}{h}.Desenvolvendo o numerador:(1+h)^{2}+1-(1+1)=1+2h+h^{2}+1-2=2h+h^{2}.Entãof'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{2h+h^{2}}{h}=\lim_{h\to 0}(2+h)=2.
Pelo raciocínio e pelas regras, isso também coincide com a regra (x^{2}+1)'=2x avaliada em x=1, que dá 2.
Verificação de continuidade (apenas para reforçar): f(1)=1^{2}+1=2 e ambos os limites laterais valem 2, logo f é contínua em 1. Portanto f'(1)=2 existe.
Passo 4
Cálculo da derivada em a=0 (ponto de transição entre primeiras duas peças).
Primeiro verificar continuidade em 0:
Limite pela esquerda: \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^-}(2x+1)=1.
Valor em 0: f(0) é dado pela segunda peça (0\le x\le 2), então f(0)=0^{2}+1=1.
Limite pela direita: \lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(x^{2}+1)=1.
Portanto f é contínua em 0 (todas as três quantias valem 1).
Agora calcular as derivadas laterais:
Derivada pela esquerda (usando 2x+1 para x<0):f'_{-}(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^-}\frac{2h+1-1}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{2h}{h}=2.Ou pela regra da reta, (2x+1)'=2.
Derivada pela direita (usando x^{2}+1 para x\ge 0):f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^+}\frac{h^{2}+1-1}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{h^{2}}{h}=\lim_{h\to 0^+}h=0.Ou pela regra, (x^{2}+1)'=2x avaliado em 0 dá 0.
Conclusão em 0: como f'_{-}(0)=2 e f'_{+}(0)=0 são diferentes, o limite simétrico \lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} não existe, logo f'(0) não existe, apesar da função ser contínua em 0.
Passo 5
Cálculo da derivada em b=2 (outro ponto de transição, entre segunda e terceira peça).
Primeiro ver a continuidade em 2:
Valor à esquerda: \lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^-}(x^{2}+1)=2^{2}+1=5.
Valor em 2: como 0\le2\le2, f(2)=2^{2}+1=5.
Valor à direita: \lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}3=3.
Portanto há uma descontinuidade do tipo salto em x=2 (o limite à direita vale 3, à esquerda vale 5). Logo f não é contínua em 2.
Consequência imediata: como diferenciabilidade implica continuidade, se f não é contínua em 2 então f'(2) não existe.
Para completar a intuição, as derivadas laterais seriam:
Pela esquerda (usando x^{2}+1): (x^{2}+1)'=2x avaliado em 2 dá 4.
Pela direita (usando constante 3): derivada é 0.
Esses dois valores ( 4 e 0 ) são diferentes; além disso a função nem é contínua, portanto f'(2) definitivamente não existe.