e pede: determinar, se existir, a matriz inversa P^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz é quadrada de ordem 3.
Deve-se verificar se existe inversa (isto é, se P é invertível) e, se existir, calculá‑la.]
Passo 2
Qual método usar? Vou usar eliminação de Gauss–Jordan sobre a matriz aumentada [P\mid I]. Por que esse método?
É direto para encontrar P^{-1}: aplicando operações elementares nas linhas de P até obter a identidade à esquerda, as mesmas operações aplicadas à matriz identidade à direita produzem P^{-1}.
Para uma matriz 3\times3 é prático e transparente — nas provas é um método seguro.
Antes de começar, vale checar rapidamente se a inversa existe, calculando o determinante: se \det(P)\neq0, então P é invertível. Calculo pela expansão na primeira linha:
O objetivo: aplicar operações elementares nas linhas (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar diferente de zero, adicionar múltiplo de uma linha a outra) até obter
Eliminar a entrada -\tfrac{1}{2} na posição (2,3) para que a terceira coluna fique com zeros acima do pivô. Como R_2 tem -\tfrac{1}{2} na coluna 3, faço
Uma checagem rápida multiplicando P por essa matriz confirma P P^{-1}=I (por exemplo, a primeira linha de P vezes a primeira coluna de P^{-1} dá 1, etc.), consistente com a inversa encontrada.]