Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
P=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\\\ 1 & 4 & -2 \\\\ -1 & -7 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
P=\begin{pmatrix}0 & 2 & -1 \\[4pt] 1 & 4 & -2 \\[4pt] -1 & -7 & 3\end{pmatrix}
e pede: determinar, se existir, a matriz inversa P^{-1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é quadrada de ordem 3.
  • Deve-se verificar se existe inversa (isto é, se P é invertível) e, se existir, calculá‑la.]

Passo 2

Qual método usar? Vou usar eliminação de Gauss–Jordan sobre a matriz aumentada [P\mid I]. Por que esse método?
  • É direto para encontrar P^{-1}: aplicando operações elementares nas linhas de P até obter a identidade à esquerda, as mesmas operações aplicadas à matriz identidade à direita produzem P^{-1}.
  • Para uma matriz 3\times3 é prático e transparente — nas provas é um método seguro.
Antes de começar, vale checar rapidamente se a inversa existe, calculando o determinante: se \det(P)\neq0, então P é invertível. Calculo pela expansão na primeira linha:
\det(P)=0\cdot\det\begin{pmatrix}4 & -2\\\ -7 & 3\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ -1 & 3\end{pmatrix} +(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ -1 & -7\end{pmatrix}.
Calcule cada determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ -1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-(-2)\cdot(-1)=3-2=1,
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ -1 & -7\end{pmatrix}=1\cdot(-7)-4\cdot(-1)=-7+4=-3.
Portanto
\det(P)=0 - 2\cdot 1 + (-1)\cdot(-3) = -2 + 3 = 1 \neq 0.
Como \det(P)=1, a inversa existe (e, de bônus, os cálculos vão ficar com inteiros mais amigáveis).

Passo 3

Montamos a matriz aumentada [P\mid I]:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 4 & -2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -7 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
O objetivo: aplicar operações elementares nas linhas (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar diferente de zero, adicionar múltiplo de uma linha a outra) até obter
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & * & * & *\\[4pt] 0 & 1 & 0 & * & * & *\\[4pt] 0 & 0 & 1 & * & * & * \end{array}\right),
onde a parte à direita será P^{-1}. Lembre-se: cada operação feita numa linha da parte esquerda é feita igualmente na parte direita.]

Passo 4

Primeira operação útil: colocar um 1 na posição (1,1). Troco a linha 1 com a linha 2, porque P_{21}=1:
R_1 \leftrightarrow R_2.
Resultado:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 4 & -2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] -1 & -7 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Explicação rápida: trocar linhas não altera a invertibilidade; isso apenas facilita ter um pivô 1 na primeira coluna.]

Passo 5

Eliminação da entrada abaixo do pivô na coluna 1 (zerar posição (3,1)). Faço
R_3 := R_3 + R_1.
Cálculo da linha 3: [-1,+ -7, +3] + [1,4,-2] = [0,-3,1] e à direita [0,0,1] + [0,1,0] = [0,1,1]. Assim:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 4 & -2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right).]

Passo 6

Agora pivô na coluna 2: a linha 2 tem 2 na posição (2,2). Faço o pivô igual a 1 dividindo a linha 2 por 2:
R_2 := \tfrac{1}{2}R_2.
Resultado:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 4 & -2 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right).
Comentário didático: sempre prefira pivôs 1 porque eliminam frações desnecessárias nas operações seguintes.]

Passo 7

Zerar as outras entradas na coluna 2 (acima e abaixo do pivô). Faço duas operações:
R_1 := R_1 - 4R_2,\qquad R_3 := R_3 + 3R_2.
Calculemos cada uma:
  • Para R_1 - 4R_2: esquerda [1,4,-2] - 4[0,1,-\tfrac{1}{2}] = [1,0,0]. Direita [0,1,0] - 4[\tfrac{1}{2},0,0] = [0-2,\,1-0,\,0-0] = [-2,1,0].
  • Para R_3 + 3R_2: esquerda [0,-3,1] + 3[0,1,-\tfrac{1}{2}] = [0,0,-\tfrac{1}{2}]. Direita [0,1,1] + 3[\tfrac{1}{2},0,0] = [\tfrac{3}{2},1,1].
Resultado:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{2} & 1 & 1 \end{array}\right).
Observação: já temos as duas primeiras colunas da esquerda transformadas na forma canônica [1,0,0]^T e [0,1,0]^T, restando apenas a terceira coluna.]

Passo 8

Pivô na coluna 3: a linha 3 tem -\tfrac{1}{2} em (3,3). Faço R_3 := -2 R_3 para tornar esse pivô igual a 1:
R_3 := -2R_3.
Cálculo: esquerda [0,0,-\tfrac{1}{2}]\cdot(-2)=[0,0,1]. Direita [\tfrac{3}{2},1,1]\cdot(-2)=[-3,-2,-2]. Assim:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & -2 & -2 \end{array}\right).]

Passo 9

Eliminar a entrada -\tfrac{1}{2} na posição (2,3) para que a terceira coluna fique com zeros acima do pivô. Como R_2 tem -\tfrac{1}{2} na coluna 3, faço
R_2 := R_2 + \tfrac{1}{2}R_3.
Cálculo: esquerda [0,1,-\tfrac{1}{2}] + \tfrac{1}{2}[0,0,1] = [0,1,0].
Direita [\tfrac{1}{2},0,0] + \tfrac{1}{2}[-3,-2,-2] = [\tfrac{1}{2}-\tfrac{3}{2},\;0-1,\;0-1] = [-1,-1,-1].
Assim a matriz aumentada fica:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3 & -2 & -2 \end{array}\right).
Agora a parte esquerda é exatamente a matriz identidade I_3, então a parte direita é P^{-1}.]

Passo 10

Interpretação final e checagem rápida: a eliminação terminou com
[P\mid I]\xrightarrow{\text{operações}}[I\mid P^{-1}]çõ
e, portanto,
P^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & -1\\[4pt] -3 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
Uma checagem rápida multiplicando P por essa matriz confirma P P^{-1}=I (por exemplo, a primeira linha de P vezes a primeira coluna de P^{-1} 1, etc.), consistente com a inversa encontrada.]

Resposta

\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -1 & -1\\[4pt] -3 & -2 & -2 \end{pmatrix}

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