Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
O=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & -4 \\\\ -2 & -1 & 2 \\\\ 3 & 0 & -5\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existir, a inversa da matriz
O=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & -4 \\\\ -2 & -1 & 2 \\\\ 3 & 0 & -5\end{array}\right).
Informações dadas:
  • A matriz O é uma matriz quadrada 3\times3.
  • A tarefa é encontrar O^{-1} quando ela existir.

Passo 2

Regra importante (sem resolver ainda): uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Portanto o primeiro cálculo é o determinante de O. Vou calcular \det(O) expandindo pela primeira linha (método direto e fácil para 3\times3).

Passo 3

Cálculo do determinante usando a primeira linha:
\det(O)=1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\!\begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt] 3 & -5\end{pmatrix} +(-4)\cdot\det\!\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.
Agora calculo cada determinante 2\times2:
\det\!\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix}=(-1)(-5)-2\cdot0=5,
\det\!\begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt] 3 & -5\end{pmatrix}=(-2)(-5)-2\cdot3=10-6=4,
\det\!\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}=(-2)\cdot0-(-1)\cdot3=0+3=3.
Substituindo:
\det(O)=1\cdot5 -(-2)\cdot4 +(-4)\cdot3 = 5 + 8 -12 = 1.]

Passo 4

Conclusão do teste de existência: \det(O)=1\neq0. Logo O é invertível e a inversa existe. Uma fórmula direta é
O^{-1}=\frac{1}{\det(O)}\operatorname{adj}(O).
Como \det(O)=1, teremos simplesmente O^{-1}=\operatorname{adj}(O). Vou então calcular a matriz adjunta (adjugada), que é a transposta da matriz dos cofatores.
Lembrando: o cofator C_{ij} é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o determinante da submatriz obtida ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.

Passo 5

Calcular os menores e cofatores linha a linha.
Para a linha 1:
M_{11}=\det\!\begin{pmatrix}-1 & 2 \\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix}=5,\qquad C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+5.
M_{12}=\det\!\begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt] 3 & -5\end{pmatrix}=4,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-4.
M_{13}=\det\!\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}=3,\qquad C_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=+3.
Para a linha 2:
M_{21}=\det\!\begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix}=(-2)(-5)-(-4)\cdot0=10,\qquad C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-10.
M_{22}=\det\!\begin{pmatrix}1 & -4 \\[4pt] 3 & -5\end{pmatrix}=1\cdot(-5)-(-4)\cdot3=-5+12=7,\qquad C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=+7.
M_{23}=\det\!\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-(-2)\cdot3=6,\qquad C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-6.
Para a linha 3:
M_{31}=\det\!\begin{pmatrix}-2 & -4 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}=(-2)\cdot2-(-4)(-1)=-4-4=-8,\qquad C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}= -8.
M_{32}=\det\!\begin{pmatrix}1 & -4 \\[4pt] -2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-(-4)(-2)=2-8=-6,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=+6.
M_{33}=\det\!\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix}=1\cdot(-1)-(-2)(-2)=-1-4=-5,\qquad C_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=-5.]

Passo 6

Matriz dos cofatores C:
C=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -4 & 3\\[4pt] -10 & 7 & -6\\[4pt] -8 & 6 & -5 \end{array}\right).
A adjunta (adjugada) é a transposta de C:
\operatorname{adj}(O)=C^{T}=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -10 & -8\\[4pt] -4 & 7 & 6\\[4pt] 3 & -6 & -5 \end{array}\right).
Como \det(O)=1, segue
O^{-1}=\operatorname{adj}(O)=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -10 & -8\\[4pt] -4 & 7 & 6\\[4pt] 3 & -6 & -5 \end{array}\right).]

Passo 7

Verificação rápida (uma checagem didática): multiplicando O por O^{-1} obtém-se a identidade. Por exemplo, produto da primeira linha de O com a primeira coluna de O^{-1}:
(1)(5)+(-2)(-4)+(-4)(3)=5+8-12=1,
e produtos mistos dão zero; o produto completo é \mathrm{I}_3. Isso confirma que a matriz encontrada é realmente a inversa.

Resposta

O^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 5 & -10 & -8\\[4pt] -4 & 7 & 6\\[4pt] 3 & -6 & -5 \end{array}\right)]

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