O objetivo é, para cada matriz, decidir se é inversível e, se for, encontrar sua inversa.]
Passo 2
Método e conceitos usados (essencial para entender as resoluções que seguem):
Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, sua determinante \det(A) for diferente de zero. Para 2\times2 e 3\times3 é prático calcular \det(A) diretamente; para 4\times4 a verificação por operações de linha junto com a eliminação é preferível.
Método principal usado: eliminação de Gauss-Jordan aplicada à matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr]. O objetivo é aplicar operações elementares de linha para transformar o bloco esquerdo em I; o bloco direito se transformará então em A^{-1}.
Para matrizes triangulares com elementos simples na diagonal (por exemplo triangular com diagonais todos 1 ou todos -1), é mais eficiente usar substituição direta (forward/back substitution).
Para matrizes 3\times3 também foi usado, quando conveniente, o método da adjunta (matriz dos cofatores, transposta = adjunta, e dividir por \det).
Em todos os desenvolvimentos abaixo as contas são mostradas passo a passo: quando uso uma operação de linha, escrevo a operação e o resultado relevante.
Agora aplico esses métodos matriz a matriz.
Passo 3
Matriz A. Vou usar Gauss-Jordan em \bigl[A\mid I\bigr].
(Procedimento: usar a última equação para cada coluna, subir resolvendo cada incógnita.)]
Passo 7
Matriz E. Faço Gauss-Jordan em \bigl[E\mid I\bigr]. Mostro as operações-chaves (multiplicações de linhas e eliminações), mantendo frações simplificadas ao final.
Depois de aplicar as operações elementares para obter a identidade no lado esquerdo, o lado direito ficou: