EXERCÍCIOS:
Verificar se a matriz A=\left[\begin{array}{lll}2 & 7 & 0 \\\\ 1 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] é a matriz inversa da matriz B=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 7 & -28 \\\\ 1 & -2 & 8 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Pede-se verificar se a matriz A é a matriz inversa da matriz B.
  • Matrizes dadas:
A=\begin{bmatrix}2 & 7 & 0 \\[4pt] 1 & 3 & 4 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix}-3 & 7 & -28 \\[4pt] 1 & -2 & 8 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{bmatrix}.
  • A verificação consiste em checar a definição de inversa: uma matriz A é inversa de B se, e somente se,
AB=BA=I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times3.]

Passo 2

Relembrando como calcular o produto de matrizes (a regra prática que vamos usar).
  • Para obter o elemento na linha i, coluna j do produto AB, fazemos o produto escalar da linha i de A com a coluna j de B.
  • Mais formalmente, o elemento (AB)_{ij} é
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3} A_{ik}\,B_{kj}.
  • Vou aplicar essa regra linha a linha e coluna a coluna, calculando todos os nove elementos de AB.

Passo 3

Calcular AB: primeiro escrevo as colunas de B para facilitar os produtos escalares.
  • Colunas de B:
\text{col}_1(B)=\begin{bmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix},\qquad \text{col}_2(B)=\begin{bmatrix}7\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{bmatrix},\qquad \text{col}_3(B)=\begin{bmatrix}-28\\[4pt]8\\[4pt]1\end{bmatrix}.
  • Linhas de A:
\text{row}_1(A)=[2\\ \\\ 7\\ \\\ 0],\qquad \text{row}_2(A)=[1\\ \\\ 3\\ \\\ 4],\qquad \text{row}_3(A)=[0\\ \\\ 0\\ \\\ 1].]

Passo 4

Calcular a primeira linha de AB (produtos escalares com \text{row}_1(A)=[2,7,0]).
  • (AB)_{11}=\text{row}_1(A)\cdot\text{col}_1(B)=2\cdot(-3)+7\cdot1+0\cdot0=-6+7+0=1.
  • (AB)_{12}=\text{row}_1(A)\cdot\text{col}_2(B)=2\cdot7+7\cdot(-2)+0\cdot0=14-14+0=0.
  • (AB)_{13}=\text{row}_1(A)\cdot\text{col}_3(B)=2\cdot(-28)+7\cdot8+0\cdot1=-56+56+0=0.

Passo 5

Calcular a segunda linha de AB (produtos escalares com \text{row}_2(A)=[1,3,4]).
  • (AB)_{21}=\text{row}_2(A)\cdot\text{col}_1(B)=1\cdot(-3)+3\cdot1+4\cdot0=-3+3+0=0.
  • (AB)_{22}=\text{row}_2(A)\cdot\text{col}_2(B)=1\cdot7+3\cdot(-2)+4\cdot0=7-6+0=1.
  • (AB)_{23}=\text{row}_2(A)\cdot\text{col}_3(B)=1\cdot(-28)+3\cdot8+4\cdot1=-28+24+4=0.

Passo 6

Calcular a terceira linha de AB (produtos escalares com \text{row}_3(A)=[0,0,1]).
  • (AB)_{31}=\text{row}_3(A)\cdot\text{col}_1(B)=0\cdot(-3)+0\cdot1+1\cdot0=0.
  • (AB)_{32}=\text{row}_3(A)\cdot\text{col}_2(B)=0\cdot7+0\cdot(-2)+1\cdot0=0.
  • (AB)_{33}=\text{row}_3(A)\cdot\text{col}_3(B)=0\cdot(-28)+0\cdot8+1\cdot1=1.

Passo 7

Reunindo os resultados do produto AB.
  • A matriz AB é
AB=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=I_3.
  • Ou seja, multiplicando A por B obtemos a identidade 3\times3.]

Passo 8

Explicar por que é suficiente (e/ou conveniente) também verificar BA — e então calcular BA.
  • Definição: A é inversa de B se AB=BA=I_3. Para matrizes quadradas, se houver dúvida sobre provar teorias auxiliares (por exemplo: "se AB=I então automaticamente BA=I"), é mais direto e seguro calcular também BA.
  • Vou então calcular BA aplicando a mesma regra de produto de matrizes.

Passo 9

Calcular BA: escrevo as colunas de A para facilitar.
  • Colunas de A:
\text{col}_1(A)=\begin{bmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{bmatrix},\qquad \text{col}_2(A)=\begin{bmatrix}7\\[4pt]3\\[4pt]0\end{bmatrix},\qquad \text{col}_3(A)=\begin{bmatrix}0\\[4pt]4\\[4pt]1\end{bmatrix}.
  • Linhas de B:
\text{row}_1(B)=[-3\\ \\\ 7\\ \\\ -28],\qquad \text{row}_2(B)=[1\\ \\\ -2\\ \\\ 8],\qquad \text{row}_3(B)=[0\\ \\\ 0\\ \\\ 1].]

Passo 10

Calcular a primeira linha de BA (produtos escalares com \text{row}_1(B)=[-3,7,-28]).
  • (BA)_{11}=\text{row}_1(B)\cdot\text{col}_1(A)=-3\cdot2+7\cdot1+(-28)\cdot0=-6+7+0=1.
  • (BA)_{12}=\text{row}_1(B)\cdot\text{col}_2(A)=-3\cdot7+7\cdot3+(-28)\cdot0=-21+21+0=0.
  • (BA)_{13}=\text{row}_1(B)\cdot\text{col}_3(A)=-3\cdot0+7\cdot4+(-28)\cdot1=0+28-28=0.

Passo 11

Calcular a segunda linha de BA (produtos escalares com \text{row}_2(B)=[1,-2,8]).
  • (BA)_{21}=\text{row}_2(B)\cdot\text{col}_1(A)=1\cdot2+(-2)\cdot1+8\cdot0=2-2+0=0.
  • (BA)_{22}=\text{row}_2(B)\cdot\text{col}_2(A)=1\cdot7+(-2)\cdot3+8\cdot0=7-6+0=1.
  • (BA)_{23}=\text{row}_2(B)\cdot\text{col}_3(A)=1\cdot0+(-2)\cdot4+8\cdot1=0-8+8=0.

Passo 12

Calcular a terceira linha de BA (produtos escalares com \text{row}_3(B)=[0,0,1]).
  • (BA)_{31}=\text{row}_3(B)\cdot\text{col}_1(A)=0\cdot2+0\cdot1+1\cdot0=0.
  • (BA)_{32}=\text{row}_3(B)\cdot\text{col}_2(A)=0\cdot7+0\cdot3+1\cdot0=0.
  • (BA)_{33}=\text{row}_3(B)\cdot\text{col}_3(A)=0\cdot0+0\cdot4+1\cdot1=1.

Passo 13

Reunindo os resultados do produto BA.
  • A matriz BA é
BA=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=I_3.
  • Portanto BA=I_3 também.]

Passo 14

Interpretação final e conclusão didática.
  • Encontramos AB=I_3 e BA=I_3. Pela definição, isso significa que A é a inversa de B.
  • Em linguagem curta: A=B^{-1}. É sempre bom verificar ambos os produtos quando se está aprendendo, para ficar seguro do cálculo.

Resposta

Sim. AB=BA=I_3, portanto A=B^{-1}.

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