EXERCÍCIOS:
Verificar se a matriz
é a matriz inversa da matriz
.
Verificar se a matriz
Passo 1
O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- Pede-se verificar se a matriz
é a matriz inversa da matriz . - Matrizes dadas:
- A verificação consiste em checar a definição de inversa: uma matriz
é inversa de se, e somente se,
onde
é a matriz identidade
.]
Passo 2
Relembrando como calcular o produto de matrizes (a regra prática que vamos usar).
- Para obter o elemento na linha
, coluna do produto , fazemos o produto escalar da linha de com a coluna de . - Mais formalmente, o elemento
é
- Vou aplicar essa regra linha a linha e coluna a coluna, calculando todos os nove elementos de
.
Passo 3
Calcular
: primeiro escrevo as colunas de
para facilitar os produtos escalares.
- Colunas de
:
- Linhas de
:
Passo 4
Calcular a primeira linha de
(produtos escalares com
).
Passo 5
Calcular a segunda linha de
(produtos escalares com
).
Passo 6
Calcular a terceira linha de
(produtos escalares com
).
Passo 7
Reunindo os resultados do produto
.
- A matriz
é
- Ou seja, multiplicando
por obtemos a identidade .]
Passo 8
Explicar por que é suficiente (e/ou conveniente) também verificar
— e então calcular
.
- Definição:
é inversa de se . Para matrizes quadradas, se houver dúvida sobre provar teorias auxiliares (por exemplo: "se então automaticamente "), é mais direto e seguro calcular também . - Vou então calcular
aplicando a mesma regra de produto de matrizes.
Passo 9
Calcular
: escrevo as colunas de
para facilitar.
- Colunas de
:
- Linhas de
:
Passo 10
Calcular a primeira linha de
(produtos escalares com
).
Passo 11
Calcular a segunda linha de
(produtos escalares com
).
Passo 12
Calcular a terceira linha de
(produtos escalares com
).
Passo 13
Reunindo os resultados do produto
.
- A matriz
é
- Portanto
também.]
Passo 14
Interpretação final e conclusão didática.
- Encontramos
e . Pela definição, isso significa que é a inversa de . - Em linguagem curta:
. É sempre bom verificar ambos os produtos quando se está aprendendo, para ficar seguro do cálculo.
Resposta
Sim.
, portanto
.