Deve-se verificar se existe G^{-1} tal que G\,G^{-1}=I (onde I é a identidade 3\times3); se existir, encontrar essa matriz.]
Passo 2
O que significa “matriz inversa” e como testar existência (aulas rápidas):
Definição: Para uma matriz quadrada G, uma matriz G^{-1} é a inversa se
G\,G^{-1}=G^{-1}G=I,
onde I é a matriz identidade (tem 1s na diagonal e 0s fora dela).
Condição prática: Uma matriz quadrada G é invertível (tem inversa) se e somente se for não singular, isto é, se o determinante \det(G) for diferente de zero.
Para matrizes 3\times3 podemos calcular \det(G) por regra de Sarrus ou por expansão por menores; aqui uso a expansão pela primeira linha (mais direta e deixa claro cada termo).
Explicando a expansão pela primeira linha: se
onde M_{1j} é o determinante do menor 2\times2 que fica ao eliminar a linha 1 e a coluna j. Cada M_{1j} é um número (o determinante daquele 2\times2).]
Passo 3
Aplicando a expansão pela primeira linha em G. Aqui os elementos da primeira linha são g_{11}=1, g_{12}=3, g_{13}=1. Calculamos os menores M_{11}, M_{12}, M_{13}:
que é exatamente a linha 3. Assim a linha 3 é combinação linear das linhas 1 e 2, ou seja, as linhas são linearmente dependentes.
Linearidade dependente das linhas implica que as linhas não formam uma base de \mathbb{R}^3, o que também implica \det(G)=0 e, portanto, ausência de inversa.
Resposta
Não existe inversa (a matriz G é singular, \det(G)=0).