Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
G=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 3 & 11 & 4\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, a matriz inversa de G. A matriz dada é
G=\begin{pmatrix}1 & 3 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 1 \\[4pt] 3 & 11 & 4\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • G é uma matriz quadrada 3\times3.
  • Deve-se verificar se existe G^{-1} tal que G\,G^{-1}=I (onde I é a identidade 3\times3); se existir, encontrar essa matriz.]

Passo 2

O que significa “matriz inversa” e como testar existência (aulas rápidas):
  • Definição: Para uma matriz quadrada G, uma matriz G^{-1} é a inversa se
G\,G^{-1}=G^{-1}G=I,
onde I é a matriz identidade (tem 1s na diagonal e 0s fora dela).
  • Condição prática: Uma matriz quadrada G é invertível (tem inversa) se e somente se for não singular, isto é, se o determinante \det(G) for diferente de zero.
  • Para matrizes 3\times3 podemos calcular \det(G) por regra de Sarrus ou por expansão por menores; aqui uso a expansão pela primeira linha (mais direta e deixa claro cada termo).
    Explicando a expansão pela primeira linha: se
G=\begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\[2pt] g_{21} & g_{22} & g_{23}\\[2pt] g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{pmatrix},
então
\det(G)=g_{11}\,M_{11}-g_{12}\,M_{12}+g_{13}\,M_{13},
onde M_{1j} é o determinante do menor 2\times2 que fica ao eliminar a linha 1 e a coluna j. Cada M_{1j} é um número (o determinante daquele 2\times2).]

Passo 3

Aplicando a expansão pela primeira linha em G. Aqui os elementos da primeira linha são g_{11}=1, g_{12}=3, g_{13}=1. Calculamos os menores M_{11}, M_{12}, M_{13}:
Menor M_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa
\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt] 11 & 4\end{pmatrix},
portanto
M_{11} = \det\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt] 11 & 4\end{pmatrix} = 2\cdot 4 - 1\cdot 11 = 8 - 11 = -3.
Menor M_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa
\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt] 3 & 4\end{pmatrix},
portanto
M_{12} = \det\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt] 3 & 4\end{pmatrix} = 0\cdot 4 - 1\cdot 3 = -3.
Menor M_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3 deixa
\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt] 3 & 11\end{pmatrix},
portanto
M_{13} = \det\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt] 3 & 11\end{pmatrix} = 0\cdot 11 - 2\cdot 3 = -6.
Agora a expansão:
\det(G)=g_{11}M_{11}-g_{12}M_{12}+g_{13}M_{13} = 1\cdot(-3) - 3\cdot(-3) + 1\cdot(-6).
Calculando termo a termo:
1\cdot(-3) = -3,\qquad -3\cdot(-3)=+9,\qquad 1\cdot(-6)=-6.
Somando:
\det(G) = -3 + 9 - 6 = 0.]

Passo 4

Interpretação do resultado \det(G)=0 (o que isso implica):
  • Pela propriedade de invertibilidade, como \det(G)=0, a matriz G é singular e, portanto, não tem inversa.
  • Em outras palavras, não existe matriz G^{-1} tal que G\,G^{-1}=I.

Passo 5

Verificação alternativa (dependência linear das linhas) — uma checagem boa para entender por que \det=0:
  • Observe as linhas de G:
    • Linha 1: (1,\;3,\;1),
    • Linha 2: (0,\;2,\;1),
    • Linha 3: (3,\;11,\;4).
  • Calcule 3 vezes a linha 1 mais a linha 2:
3\cdot(1,3,1) + (0,2,1) = (3,9,3) + (0,2,1) = (3,11,4),
que é exatamente a linha 3. Assim a linha 3 é combinação linear das linhas 1 e 2, ou seja, as linhas são linearmente dependentes.
  • Linearidade dependente das linhas implica que as linhas não formam uma base de \mathbb{R}^3, o que também implica \det(G)=0 e, portanto, ausência de inversa.

Resposta

Não existe inversa (a matriz G é singular, \det(G)=0).

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