É preciso encontrar H^{-1} quando existir (ou dizer que não existe).]
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação curta e amigável):
Vou usar eliminação de Gauss–Jordan (método do escalonamento com matriz aumentada). Por quê? Porque é um método direto, baseado em operações elementares de linha, que transforma \,H na matriz identidade \,I_3 enquanto transforma \,I_3 numa matriz que, ao final, será \,H^{-1}. É um método que dá passo a passo e é bastante comum em provas — não exige fórmulas prontas para 3×3 e é fácil de checar.
Breve lembrete sobre a ideia do método (aula curtinha):
Se existe H^{-1}, então existem operações elementares de linha (equivalentes a multiplicar por matrizes elementares) que levam H à identidade.
Aplicando as mesmas operações ao lado direito da matriz aumentada [H \mid I], o bloco direito vira H^{-1}.
Operações elementares de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra. Essas operações não mudam a solução do sistema associado e podem ser feitas manualmente.
Observação útil: a parte esquerda está agora triangular superior; os pivôs aparentes são 1, -3 e 1. O determinante de H é o produto desses pivôs (pois apenas foram feitas combinações que não mudam o determinante), então \det(H)=1\cdot(-3)\cdot1=-3. Como \det(H)\neq 0, H é invertível — ou seja, a inversa existe.]
Passo 5
Eliminar as entradas não nulas na coluna 3 (usar o pivô na terceira linha que já é 1):
Fazer R_1 \leftarrow R_1 - R_3 para zerar o elemento (1,3).
Fazer R_2 \leftarrow R_2 + R_3 para zerar o elemento (2,3) (porque em R_2 a entrada é -1).