Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
F=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, a inversa da matriz
F=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Informações dadas:
  • A matriz F é uma matriz 3\times3.
  • Os elementos são os mostrados acima (peguei esses números do enunciado).
    Objetivo: encontrar uma matriz F^{-1} tal que
F\,F^{-1}=I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times3. Se não existir tal matriz, informar que F não é invertível.]

Passo 2

Critério rápido de existência da inversa: uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Uma observação útil: para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Aqui F é uma matriz inferior triangular, com diagonal principal \{1,1,1\}. Então
\det(F)=1\cdot1\cdot1=1\neq0.
Portanto F é invertível e a inversa existe. Vou agora calcular explicitamente F^{-1}.

Passo 3

Método usado: Gauss–Jordan (ou, equivalente, resolver F X = I_3 coluna a coluna). Vou fazer a versão por matriz aumentada:
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
A ideia é aplicar operações elementares sobre as linhas até que o bloco esquerdo vire I_3; o bloco direito então se tornará F^{-1}.]

Passo 4

Executando as operações (explicando cada passo de forma simples):
  • A linha 1 já tem pivot 1 na posição (1,1).
  • Eliminar o 2 abaixo do pivot em (2,1) usando R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1.
Calculemos R_2 - 2R_1 elemento a elemento (mostrando concretamente):
  • Para o bloco esquerdo: (2,1,0) - 2\cdot(1,0,0) = (0,1,0).
  • Para o bloco direito: (0,1,0) - 2\cdot(1,0,0) = (-2,1,0).
Após essa operação a matriz aumentada fica
\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
Agora o bloco esquerdo já é a identidade I_3. Portanto o bloco direito é a inversa buscada.]

Passo 5

Interpretação (uma forma alternativa e didática de ver o mesmo resultado): resolver coluna a coluna os sistemas [F x_j = e_j), onde e_j é a j-ésima coluna da identidade.
  • Para e_1=(1,0,0)^T: o sistema é
    \begin{cases} x_1 = 1,\\[4pt] 2x_1 + x_2 = 0,\\[4pt] x_3 = 0. \end{cases}
    Da primeira equação x_1=1\]. Da segunda \(2\cdot1 + x_2 =0 então x_2=-2. Da terceira x_3=0. Logo a primeira coluna de F^{-1} é \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para e_2=(0,1,0)^T: o sistema dá x_1=0, 2\cdot0 + x_2=1\Rightarrow x_2=1, x_3=0. Segunda coluna \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Para e_3=(0,0,1)^T: obtemos x_1=0, x_2=0, x_3=1. Terceira coluna \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Concatenando colunas obtemos a mesma matriz direita do passo anterior.]

Passo 6

Verificação rápida (confiança extra): multiplicar F pela matriz obtida deve dar I_3. Fazendo mentalmente as multiplicações de linhas por colunas obtém-se a identidade, confirmando que a inversa está correta.

Resposta

F^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{array}\right)]

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