Os elementos são os mostrados acima (peguei esses números do enunciado).
Objetivo: encontrar uma matriz F^{-1} tal que
F\,F^{-1}=I_3,
onde I_3 é a matriz identidade 3\times3. Se não existir tal matriz, informar que F não é invertível.]
Passo 2
Critério rápido de existência da inversa: uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Uma observação útil: para matrizes triangulares (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Aqui F é uma matriz inferior triangular, com diagonal principal \{1,1,1\}. Então
\det(F)=1\cdot1\cdot1=1\neq0.
Portanto F é invertível e a inversa existe. Vou agora calcular explicitamente F^{-1}.
Passo 3
Método usado: Gauss–Jordan (ou, equivalente, resolver F X = I_3 coluna a coluna). Vou fazer a versão por matriz aumentada:
Agora o bloco esquerdo já é a identidade I_3. Portanto o bloco direito é a inversa buscada.]
Passo 5
Interpretação (uma forma alternativa e didática de ver o mesmo resultado): resolver coluna a coluna os sistemas [F x_j = e_j), onde e_j é a j-ésima coluna da identidade.
Da primeira equação x_1=1\]. Da segunda \(2\cdot1 + x_2 =0 então x_2=-2. Da terceira x_3=0. Logo a primeira coluna de F^{-1} é \begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\end{pmatrix}.
Para e_2=(0,1,0)^T: o sistema dá x_1=0, 2\cdot0 + x_2=1\Rightarrow x_2=1, x_3=0. Segunda coluna \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Concatenando colunas obtemos a mesma matriz direita do passo anterior.]
Passo 6
Verificação rápida (confiança extra): multiplicar F pela matriz obtida deve dar I_3. Fazendo mentalmente as multiplicações de linhas por colunas obtém-se a identidade, confirmando que a inversa está correta.