Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
J=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a matriz quadrada J de ordem 3 e pede a sua inversa, se existir. Os dados são:
J=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
O que é pedido: determinar J^{-1}, ou então concluir que a inversa não existe se J for singular.]

Passo 2

Conceito importante (passo de verificação): uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, \det(A)\neq0. Uma forma prática para matrizes 3\times3 é calcular o determinante e, se for diferente de zero, usar a fórmula
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a adjunta (a transposta da matriz de cofatores). Vou usar esse método porque em 3\times3 ele é direto e explica bem os conceitos usados na prova.

Passo 3

Calcular o determinante de J. Usando a expansão pela primeira linha:
\det(J)=2\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}.
Agora calculo cada pequeno determinante:
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-(-1)\cdot2=1+2=3,
\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-(-1)\cdot3=2+3=5,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-1\cdot3=4-3=1.
Substituindo:
\det(J)=2\cdot3-2\cdot5+1\cdot1=6-10+1=-3.
Como \det(J)=-3\neq0, a inversa existe.]

Passo 4

Definição prática: para obter \operatorname{adj}(J) preciso formar a matriz dos cofatores C=(C_{ij}), onde
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
e M_{ij} é o menor (determinante da submatriz obtida ao riscar a linha i e a coluna j). Vou calcular cada M_{ij} e C_{ij} sistematicamente.

Passo 5

Cálculo dos cofatores da primeira linha:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=3,\qquad C_{11}=+3.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}=5,\qquad C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-5.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}=1,\qquad C_{13}=+1.]

Passo 6

Cálculo dos cofatores da segunda linha:
M_{21}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot2=0,\qquad C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-0=0.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-1\cdot3=2-3=-1,\qquad C_{22}=+(-1)=-1.
M_{23}=\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}=2\cdot2-2\cdot3=4-6=-2,\qquad C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}= -(-2)=2.]

Passo 7

Cálculo dos cofatores da terceira linha:
M_{31}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot1=-2-1=-3,\qquad C_{31}=+(-3)=-3.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}=2\cdot(-1)-1\cdot2=-2-2=-4,\qquad C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-(-4)=4.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1-2\cdot2=2-4=-2,\qquad C_{33}=+(-2)=-2.]

Passo 8

Matriz de cofatores C (organizada por linhas) fica:
C=\begin{pmatrix} 3 & -5 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 2\\[4pt] -3 & 4 & -2 \end{pmatrix}.
A adjunta é a transposta de C:
\operatorname{adj}(J)=C^{T}= \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3\\[4pt] -5 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Aplicar a fórmula da inversa:
J^{-1}=\frac{1}{\det(J)}\operatorname{adj}(J)=\frac{1}{-3} \begin{pmatrix} 3 & 0 & -3\\[4pt] -5 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
Multiplicando cada entrada por -\tfrac{1}{3}:
J^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\[4pt] \dfrac{5}{3} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\[6pt] -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

J^{-1}= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\[4pt] \dfrac{5}{3} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{4}{3}\\[6pt] -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} \end{pmatrix}]

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