Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
L=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & -3 & -6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar, se existir, a inversa da matriz
L=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\[4pt] 0 & -3 & -6 \\[4pt] 7 & 8 & 9\end{pmatrix}.
Informações dadas que usaremos: os nove elementos da matriz L são os mostrados acima. A pergunta é única: existe L^{-1}? Se sim, calcule-a; se não, justifique por que não existe.]

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se L é invertível. Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando o seu determinante é diferente de zero. Vou calcular o determinante de L.
Para uma matriz 3\times3 a fórmula (regra de Sarrus) é
\det(L)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr),
onde a_{ij} são os elementos de L. Aqui:
a_{11}=1,\quad a_{12}=2,\quad a_{13}=3,
a_{21}=0,\quad a_{22}=-3,\quad a_{23}=-6,
a_{31}=7,\quad a_{32}=8,\quad a_{33}=9.

Passo 3

Agora cálculo termo a termo (vou mostrar cada produto para você poder seguir sem pular etapas):
\begin{aligned} a_{11}a_{22}a_{33} &= 1\cdot(-3)\cdot9 = -27,\\[4pt] a_{12}a_{23}a_{31} &= 2\cdot(-6)\cdot7 = -84,\\[4pt] a_{13}a_{21}a_{32} &= 3\cdot0\cdot8 = 0, \end{aligned}
soma dos três primeiros termos:
-27 + (-84) + 0 = -111.
Agora os três termos subtraídos:
\begin{aligned} a_{13}a_{22}a_{31} &= 3\cdot(-3)\cdot7 = -63,\\[4pt] a_{11}a_{23}a_{32} &= 1\cdot(-6)\cdot8 = -48,\\[4pt] a_{12}a_{21}a_{33} &= 2\cdot0\cdot9 = 0, \end{aligned}
soma desses:
-63 + (-48) + 0 = -111.
Portanto
\det(L)=(-111)-(-111)=0.]

Passo 4

Interpretação didática: como \det(L)=0, pela definição a matriz L não é invertível (não existe matriz L^{-1} tal que L\,L^{-1}=I). Vou também mostrar uma explicação alternativa e muito útil na prova: as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes — isso implica determinante zero.
Considere as linhas \ell_1,\ell_2,\ell_3 de L:
\ell_1=(1,2,3),\quad \ell_2=(0,-3,-6),\quad \ell_3=(7,8,9).
Calcule \ell_3-7\ell_1:
\ell_3-7\ell_1=(7,8,9)-7(1,2,3)=(7-7,\;8-14,\;9-21)=(0,-6,-12).
Observe que (0,-6,-12)=2(0,-3,-6)=2\ell_2. Logo
\ell_3 = 7\ell_1 + 2\ell_2,
ou seja, as linhas são linearmente dependentes. Isso confirma de maneira direta que \det(L)=0 e, portanto, L não tem inversa.

Passo 5

Resumo prático para a prova: sempre verifique o determinante primeiro; se for zero, nem tenta calcular adjunta ou fazer eliminação — já sabe que a inversa não existe. Aqui aplicamos isso e também exibimos a relação de dependência linear entre as linhas como dupla confirmação. Força aí — você identificou corretamente que não há inversa antes de gastar tempo com cálculos longos.

Resposta

A matriz L não é invertível (não existe L^{-1}), pois \det(L)=0.

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