Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
I=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -3 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & -2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada de ordem 3 e pede para determinar, se existir, a sua inversa. A matriz fornecida é
I=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -2 & 5 \end{pmatrix}.
O que se pede: calcular I^{-1} (ou dizer que não existe, caso a matriz não seja invertível).]

Passo 2

Breve comentário sobre o método que vou usar (sem resolver ainda): para encontrar a inversa de uma matriz quadrada pequena como essa, um método direto e sistemático é o método de Gauss–Jordan — montar a matriz aumentada \bigl[I\mid I_3\bigr] e aplicar operações elementares de linha até obter \bigl[I_3\mid I^{-1}\bigr]. Essas operações elementares são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar a uma linha um múltiplo de outra linha. Se for possível transformar o bloco esquerdo em I_3, o bloco direito final será I^{-1}. Esse método é o escolhido porque é algoritmo padrão na prova e dá a inversa diretamente.

Passo 3

Vou montar a matriz aumentada inicial \bigl[I\mid I_3\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Para facilitar os cálculos (ter um pivô maior que zero na primeira linha), troco a linha 1 com a linha 2. Aplicação: R_1 \leftrightarrow R_2.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & -2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora quero um 1 como pivô na primeira linha, coluna 1. Divido a primeira linha por 2: R_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_1.
Resultado:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] -1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 0\\[6pt] 4 & -2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Explicação curta: ter pivô 1 facilita zerar abaixo e acima usando multiplicações simples.]

Passo 5

Zerar as entradas abaixo do pivô (coluna 1). Uso:
  • Para zerar a entrada em R_2: R_2 \leftarrow R_2 + R_1 (porque -1 + 1 = 0).
  • Para zerar a entrada em R_3: R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1 (porque 4 - 4\cdot 1 = 0).
Calculemos cada uma.
Depois de R_2 \leftarrow R_2 + R_1:
R_2 = \bigl[-1+1,\;2+\tfrac{1}{2},\;-3+0\;\mid\;1+0,\;0+\tfrac{1}{2},\;0+0\bigr] = \bigl[0,\;\tfrac{5}{2},\;-3\;\mid\;\;1,\;\tfrac{1}{2},\;0\bigr].
Depois de R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1:
R_3 = \bigl[4-4,\;-2-4\cdot\tfrac{1}{2},\;5-4\cdot 0\;\mid\;0-4\cdot 0,\;0-4\cdot\tfrac{1}{2},\;1-4\cdot 0\bigr] = \bigl[0,\;-4,\;5\;\mid\;0,\;-2,\;1\bigr].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & \tfrac{5}{2} & -3 & 1 & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & -4 & 5 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora vamos trabalhar com o pivô na posição (2,2). A entrada é \tfrac{5}{2}. Faço R_2 \leftarrow \tfrac{2}{5}R_2 para transformar esse pivô em 1.
Cálculo:
R_2 = \bigl[0,\;1,\;- \tfrac{6}{5}\;\mid\;\tfrac{2}{5},\;\tfrac{1}{5},\;0\bigr].
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & \tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{6}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[6pt] 0 & -4 & 5 & 0 & -2 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Zerar as outras entradas da coluna 2 (acima e abaixo do pivô). Aplicações:
  • Para zerar em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{2}R_2 porque a entrada em R_1 é \tfrac{1}{2}.
  • Para zerar em R_3: R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2 porque a entrada em R_3 é -4.
Calculemos:
Para R_1:
R_1 = \bigl[1,\;0,\;0 - \tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr)\;\mid\;0 - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5},\;\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{5},\;0 - \tfrac{1}{2}\cdot 0\bigr].
Simplificando:
0 - \tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr)=\tfrac{3}{5},\quad 0 - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{2}{5}=-\tfrac{1}{5},\quad \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{5}=\tfrac{2}{5}.
Logo
R_1 = \bigl[1,\;0,\;\tfrac{3}{5}\;\mid\;-\tfrac{1}{5},\;\tfrac{2}{5},\;0\bigr].
Para R_3:
R_3 = \bigl[0,\;0,\;5 + 4\cdot\bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr)\;\mid\;0 + 4\cdot\tfrac{2}{5},\;-2 + 4\cdot\tfrac{1}{5},\;1 + 4\cdot 0\bigr].
Simplificando:
5 + 4\cdot\bigl(-\tfrac{6}{5}\bigr)=5 - \tfrac{24}{5}=\tfrac{1}{5},\quad 0 + 4\cdot\tfrac{2}{5}=\tfrac{8}{5},\quad -2 + 4\cdot\tfrac{1}{5}=-2 + \tfrac{4}{5}=-\tfrac{6}{5}.
Logo
R_3 = \bigl[0,\;0,\;\tfrac{1}{5}\;\mid\;\tfrac{8}{5},\;-\tfrac{6}{5},\;1\bigr].
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{6}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{5} & \tfrac{8}{5} & -\tfrac{6}{5} & 1 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora o pivô na terceira coluna (posição (3,3)) é \tfrac{1}{5}. Multiplico a linha 3 por 5 para obter pivô 1: R_3 \leftarrow 5R_3.
Resultado:
R_3 = \bigl[0,\;0,\;1\;\mid\;8,\;-6,\;5\bigr],
e a matriz aumenta fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & 0\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{6}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 8 & -6 & 5 \end{array}\right].]

Passo 9

Eliminar as entradas nas posições (1,3) e (2,3) (acima do pivô de terceira coluna).
  • Para R_1: a entrada é \tfrac{3}{5}, então faço R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{3}{5}R_3.
  • Para R_2: a entrada é -\tfrac{6}{5}, então faço R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{6}{5}R_3.
Calculemos as atualizações das partes direita (coluna da inversa que estamos construindo).
Para R_1:
\text{parte direita de }R_1: \bigl[-\tfrac{1}{5},\;\tfrac{2}{5},\;0\bigr] - \tfrac{3}{5}\bigl[8,\;-6,\;5\bigr].
Compute cada componente:
-\tfrac{1}{5} - \tfrac{3}{5}\cdot 8 = -\tfrac{1}{5} - \tfrac{24}{5} = -\tfrac{25}{5} = -5,
\tfrac{2}{5} - \tfrac{3}{5}\cdot(-6) = \tfrac{2}{5} + \tfrac{18}{5} = \tfrac{20}{5} = 4,
0 - \tfrac{3}{5}\cdot 5 = 0 - 3 = -3.
Logo
R_1 = \bigl[1,\;0,\;0\;\mid\;-5,\;4,\;-3\bigr].
Para R_2:
\text{parte direita de }R_2: \bigl[\tfrac{2}{5},\;\tfrac{1}{5},\;0\bigr] + \tfrac{6}{5}\bigl[8,\;-6,\;5\bigr].
Compute cada componente:
\tfrac{2}{5} + \tfrac{6}{5}\cdot 8 = \tfrac{2}{5} + \tfrac{48}{5} = \tfrac{50}{5} = 10,
\tfrac{1}{5} + \tfrac{6}{5}\cdot(-6) = \tfrac{1}{5} - \tfrac{36}{5} = -\tfrac{35}{5} = -7,
0 + \tfrac{6}{5}\cdot 5 = 6.
Logo
R_2 = \bigl[0,\;1,\;0\;\mid\;10,\;-7,\;6\bigr].
A matriz final (esquerda identidade, direita é a inversa) é:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -5 & 4 & -3\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 10 & -7 & 6\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 8 & -6 & 5 \end{array}\right].]

Passo 10

Interpretação final: conseguimos transformar o bloco esquerdo em I_3 usando operações elementares, portanto a matriz original é invertível e o bloco direito resultante é a sua inversa. Para conferir mentalmente (boa prática para prova), pode-se multiplicar a matriz original pela inversa encontrada e verificar que o produto é I_3; isso foi verificado localmente e dá identidade.

Resposta

I^{-1}=\begin{pmatrix} -5 & 4 & -3\\[4pt] 10 & -7 & 6\\[4pt] 8 & -6 & 5 \end{pmatrix}]

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