Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
B=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -3 & -2 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -3 & -2 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede: determinar, se existir, a matriz inversa de B.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz B é quadrada de ordem 4.
  • A tarefa é encontrar B^{-1} tal que B\,B^{-1}=I_4, se essa inversa existir.]

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): vou usar eliminação de Gauss–Jordan aplicada à matriz aumentada \bigl[B\mid I_4\bigr]. A ideia é aplicar operações elementares por linhas (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até que o bloco esquerdo vire I_4; o bloco direito resultante será B^{-1}.
Observações rápidas sobre operações permitidas:
  • Multiplicar uma linha por um escalar c\neq0 é permitido.
  • Somar à uma linha um múltiplo de outra linha é permitido.
  • Trocar duas linhas é permitido.
    Essas operações não mudam a solução do sistema equivalente e permitem transformar B em I_4 quando B é invertível.
Vou trabalhar passo a passo com a matriz aumentada inicial
\bigl[B\mid I_4\bigr]= \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -3 & -2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).]

Passo 3

Primeira coluna: usar a linha 1 como pivô (já tem 1 no pivô). Eliminar entradas abaixo na coluna 1.
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Após essas operações obtemos
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -3 & 3 & -2 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -4 & -1 & -1 & -1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
(Se quiser conferir: por exemplo em R_2 a primeira entrada fica 2-2\cdot1=0, a segunda -1-2\cdot1=-3, etc.; os blocos aumentados foram atualizados da mesma forma.)]

Passo 4

Segunda coluna: o pivô natural é agora a entrada -3 em R_2. Normalizo essa linha dividindo por -3 para ficar com pivô 1:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{3}R_2,
o que dá
R_2 = \bigl(0\;,\;1\;,\;-1\;,\;\tfrac{2}{3}\;\mid\;\tfrac{2}{3}\;,\;-\tfrac{1}{3}\;,\;0\;,\;0\bigr).
Agora elimino a coluna 2 nas outras linhas usando R_2:
  • R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
  • R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2.
  • R_4 já tem zero na coluna 2, permanece.
Após essas operações o sistema fica
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -5 & \tfrac{5}{3} & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{4}{3} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right).
(Verificação rápida: em R_3, por exemplo, a terceira entrada -1 + 4(-1) = -5; bloco aumentado em R_3 foi [-1,0,1,0] + 4[\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},0,0]=[\tfrac{5}{3},-\tfrac{4}{3},1,0].)]

Passo 5

Terceira coluna: perceba que nas linhas 3 e 4 sobram entradas na coluna 3 ( -5 e 2). Para pivô é mais conveniente usar a linha com 2. Faço troca de linhas:
R_3 \leftrightarrow R_4.
Depois normalizo o novo R_3 dividindo por 2:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3,
o que dá
R_3 = \bigl(0\;,\;0\;,\;1\;,\;0\;\mid\;-\tfrac{1}{2}\;,\;0\;,\;0\;,\;\tfrac{1}{2}\bigr).
Agora elimino a coluna 3 nas outras linhas:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_3 (pois R_2 tem -1 na coluna 3).
  • R_4 \leftarrow R_4 + 5R_3 (pois R_4 tem -5 depois da troca).
Após essas operações a matriz aumentada fica
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{3} & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{5}{3} & -\tfrac{5}{3} & -\tfrac{4}{3} & 1 & \tfrac{5}{2} \end{array}\right).
(Detalhe: calculei cada entrada do bloco aumentado após multiplicações e somas apropriadas.)]

Passo 6

Quarta coluna: agora temos pivô \tfrac{5}{3} em R_4. Normalizo R_4 multiplicando por \tfrac{3}{5}:
R_4 \leftarrow \tfrac{3}{5}R_4,
ficando
R_4 = \bigl(0\;,\;0\;,\;0\;,\;1\;\mid\;-\tfrac{1}{2}\;,\;-\tfrac{4}{5}\;,\;\tfrac{3}{5}\;,\;\tfrac{3}{2}\bigr).
Em seguida elimino a coluna 4 nas outras linhas:
  • R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{1}{3}R_4 (pois R_1 tem \tfrac{1}{3} na coluna 4).
  • R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{2}{3}R_4 (pois R_2 tem \tfrac{2}{3} na coluna 4).
  • R_3 já tem zero na coluna 4, permanece.
Fazendo essas eliminações obtemos o bloco esquerdo igual a I_4 e o bloco direito será B^{-1}. O resultado final da matriz aumentada é
\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{3}{2} \end{array}\right).]

Passo 7

Interpretação final: o bloco direito da matriz aumentada acima é exatamente a matriz inversa B^{-1}. Como conseguimos transformar B em I_4 com operações elementares, B é invertível e a inversa existe.

Resposta

B^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & 0 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{4}{5} & \tfrac{3}{5} & \tfrac{3}{2} \end{pmatrix}

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