e pede: determinar, se existir, a matriz inversa de B.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz B é quadrada de ordem 4.
A tarefa é encontrar B^{-1} tal que B\,B^{-1}=I_4, se essa inversa existir.]
Passo 2
Método escolhido (explicação didática): vou usar eliminação de Gauss–Jordan aplicada à matriz aumentada \bigl[B\mid I_4\bigr]. A ideia é aplicar operações elementares por linhas (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até que o bloco esquerdo vire I_4; o bloco direito resultante será B^{-1}.
Observações rápidas sobre operações permitidas:
Multiplicar uma linha por um escalar c\neq0 é permitido.
Somar à uma linha um múltiplo de outra linha é permitido.
Trocar duas linhas é permitido.
Essas operações não mudam a solução do sistema equivalente e permitem transformar B em I_4 quando B é invertível.
Vou trabalhar passo a passo com a matriz aumentada inicial
(Se quiser conferir: por exemplo em R_2 a primeira entrada fica 2-2\cdot1=0, a segunda -1-2\cdot1=-3, etc.; os blocos aumentados foram atualizados da mesma forma.)]
Passo 4
Segunda coluna: o pivô natural é agora a entrada -3 em R_2. Normalizo essa linha dividindo por -3 para ficar com pivô 1:
(Verificação rápida: em R_3, por exemplo, a terceira entrada -1 + 4(-1) = -5; bloco aumentado em R_3 foi [-1,0,1,0] + 4[\tfrac{2}{3},-\tfrac{1}{3},0,0]=[\tfrac{5}{3},-\tfrac{4}{3},1,0].)]
Passo 5
Terceira coluna: perceba que nas linhas 3 e 4 sobram entradas na coluna 3 (-5 e 2). Para pivô é mais conveniente usar a linha com 2. Faço troca de linhas:
Interpretação final: o bloco direito da matriz aumentada acima é exatamente a matriz inversa B^{-1}. Como conseguimos transformar B em I_4 com operações elementares, B é invertível e a inversa existe.