Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
A=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existir, a inversa da matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações fornecidas (peguei todos os coeficientes diretamente do enunciado):
  • A é uma matriz quadrada de ordem 4.
  • A tarefa é verificar se A é invertível e, caso seja, encontrar A^{-1}.

Passo 2

Método escolhido (sem entrar em jargões complicados): usar eliminação de Gauss–Jordan. Ideia principal (aqui explico a teoria básica e o que faremos, bem devagar):
  • Para achar A^{-1} constrói-se a matriz aumentada \bigl[A \mid I\bigr], onde I é a identidade 4\times4.
  • Aplica-se operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) até que o bloco esquerdo vire a matriz identidade. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares — no final o bloco direito será exatamente A^{-1}, se isso for possível.
  • Operações elementares não mudam a solução, são seguras para transformar a matriz e “construir” a inversa.
Montando a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Começo eliminando abaixo do pivô da primeira coluna (uso a primeira linha como pivô de coluna 1).
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - R_1 e R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Calculemos linha a linha:
R_2 - R_1:
  • esquerda: (1,1,0,1)-(1,0,1,0)=(0,1,-1,1).
  • direita: (0,1,0,0)-(1,0,0,0)=(-1,1,0,0).
R_4 - R_1:
  • esquerda: (1,1,1,1)-(1,0,1,0)=(0,1,0,1).
  • direita: (0,0,0,1)-(1,0,0,0)=(-1,0,0,1).
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Observação didática: o objetivo é criar zeros abaixo e acima dos pivôs; já temos pivô 1 na primeira linha/coluna e eliminamos os 1’s abaixo.]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda linha (coluna 2 é pivot com valor 1). Elimino a entrada da coluna 2 em R_4:
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
Calculemos:
  • esquerda: (0,1,0,1)-(0,1,-1,1)=(0,0,1,0).
  • direita: (-1,0,0,1)-(-1,1,0,0)=(0,-1,0,1).
Aumentada fica
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
Comentário: agora as duas linhas R_3 e R_4 têm 1 na coluna 3; vamos usar R_3 como pivô da coluna 3.]

Passo 5

Pivot na terceira linha (coluna 3 = 1). Quero zeros nas outras linhas na coluna 3.
  • Faço R_1 \leftarrow R_1 - R_3 (para zerar o 1 em posição (1,3)).
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 + R_3 (pois R_2 tem -1 em (2,3)).
  • Faço R_4 \leftarrow R_4 - R_3.
Calculemos cada operação:
  1. R_1 - R_3:
  • esquerda: (1,0,1,0)-(0,0,1,1)=(1,0,0,-1).
  • direita: (1,0,0,0)-(0,0,1,0)=(1,0,-1,0).
  1. R_2 + R_3:
  • esquerda: (0,1,-1,1)+(0,0,1,1)=(0,1,0,2).
  • direita: (-1,1,0,0)+(0,0,1,0)=(-1,1,1,0).
  1. R_4 - R_3:
  • esquerda: (0,0,1,0)-(0,0,1,1)=(0,0,0,-1).
  • direita: (0,-1,0,1)-(0,0,1,0)=(0,-1,-1,1).
Aumentada fica
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right].
Explicação pedagógica: agora a coluna 3 foi limpa em todas as linhas exceto no pivô; resta tratar a coluna 4.]

Passo 6

Pivot na quarta coluna: atualmente em R_4 a entrada da coluna 4 é -1. Faço primeiro R_4 \leftarrow -R_4 para obter pivô 1. Isso dá:
R_4 \leftarrow -R_4:
  • esquerda: (0,0,0,-1) vira (0,0,0,1).
  • direita: (0,-1,-1,1) vira (0,1,1,-1).
Então a aumentada é
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right].
Agora uso esse pivô 1 na linha 4 para zerar a coluna 4 nas outras linhas:
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_4 (pois R_1 tem -1 em (1,4)),
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_4 (pois R_2 tem 2 em (2,4)),
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_4 (pois R_3 tem 1 em (3,4)).
Façamos cada cálculo (aqui mostro os resultados das operações linha a linha):
  1. R_1 + R_4:
  • esquerda: (1,0,0,-1)+(0,0,0,1)=(1,0,0,0).
  • direita: (1,0,-1,0)+(0,1,1,-1)=(1,1,0,-1).
  1. R_2 - 2R_4:
  • esquerda: (0,1,0,2)-2(0,0,0,1)=(0,1,0,0).
  • direita: (-1,1,1,0)-2(0,1,1,-1)=(-1,1,1,0)-(0,2,2,-2)=(-1,-1,-1,2).
  1. R_3 - R_4:
  • esquerda: (0,0,1,1)-(0,0,0,1)=(0,0,1,0).
  • direita: (0,0,1,0)-(0,1,1,-1)=(0,-1,0,1).
Após essas operações, o bloco esquerdo transforma-se na identidade 4\times4. A matriz aumentada final (já com o bloco esquerdo = I) é
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right].
Comentário final desta etapa: como o bloco esquerdo virou a identidade, concluímos que A é invertível e o bloco direito acima é exatamente A^{-1}.]

Passo 7

Interpretação do resultado (aqui explico o que significa e como usar):
  • Ter reduzido \bigl[A\mid I\bigr] a \bigl[I\mid B\bigr] significa que A é invertível e B é a sua inversa.
  • O procedimento usado (Gauss–Jordan) é construtivo: aplica-se nas provas e em exames porque transforma diretamente a identidade ao lado da matriz inicial, construindo a inversa sem precisar calcular determinantes longos.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1\\[4pt] -1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}]

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