O que é pedido: determinar C^{-1}, ou dizer que não existe, se for o caso.
Informações relevantes dadas:
C é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero).
Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma didática): escrever C como soma da identidade I com uma matriz estritamente triangular inferior N,
C = I + N,
onde I é a matriz identidade 4\times4 e N tem zeros na diagonal e acima dela. Vou usar a propriedade de matrizes unipotentes: se N é estritamente triangular inferior de ordem 4 então N é nilpotente de índice no máximo 4, isto é, N^4=\mathbf{0}. Para tal matriz vale a fórmula finita (série de Neumann truncada):
(I+N)^{-1} = I - N + N^2 - N^3,
porque os termos além de N^3 desaparecem já que N^4=\mathbf{0}. Essa fórmula é muito prática: em vez de eliminar por Gauss coluna a coluna, usa-se a estrutura triangular.
Explicação rápida do porquê: a série formal \sum_{k=0}^{\infty}(-N)^k converge em finitíssimo número de termos quando N^m=\mathbf{0} para algum m; multiplicando (I+N) pela soma finite obtém-se I.
Vou calcular N^2 pelo produto matricial padrão. Lembrete do produto: o elemento (N^2)_{ij} é \sum_{k=1}^{4} N_{ik}N_{kj}. Faço linha a linha para evitar erro.
Passo 4
Cálculo de N^2.
Primeira linha de N é toda zero, logo primeira linha de N^2 é toda zero.
Segunda linha de N é (2,0,0,0). Multiplicando por N dá segunda linha de N^2 toda zero.
Terceira linha de N é (3,2,0,0). Para (N^2)_{31} temos
Verificação de nilpotência e conclusão sobre a fórmula: multiplicando N^3 por N obtemos N^4=\mathbf{0}, porque a única possível contribuição viria da primeira linha de N, que é zero. Assim N^4=\mathbf{0} e a fórmula truncada é válida: