Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
C=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz quadrada C de ordem 4 e pede a sua inversa, se existir:
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
O que é pedido: determinar C^{-1}, ou dizer que não existe, se for o caso.
Informações relevantes dadas:
  • C é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero).
  • Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma didática): escrever C como soma da identidade I com uma matriz estritamente triangular inferior N,
C = I + N,
onde I é a matriz identidade 4\times4 e N tem zeros na diagonal e acima dela. Vou usar a propriedade de matrizes unipotentes: se N é estritamente triangular inferior de ordem 4 então N é nilpotente de índice no máximo 4, isto é, N^4=\mathbf{0}. Para tal matriz vale a fórmula finita (série de Neumann truncada):
(I+N)^{-1} = I - N + N^2 - N^3,
porque os termos além de N^3 desaparecem já que N^4=\mathbf{0}. Essa fórmula é muito prática: em vez de eliminar por Gauss coluna a coluna, usa-se a estrutura triangular.
Explicação rápida do porquê: a série formal \sum_{k=0}^{\infty}(-N)^k converge em finitíssimo número de termos quando N^m=\mathbf{0} para algum m; multiplicando (I+N) pela soma finite obtém-se I.

Passo 3

Defino N subtraindo a identidade de C:
N = C - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 0 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Vou calcular N^2 pelo produto matricial padrão. Lembrete do produto: o elemento (N^2)_{ij} é \sum_{k=1}^{4} N_{ik}N_{kj}. Faço linha a linha para evitar erro.

Passo 4

Cálculo de N^2.
  • Primeira linha de N é toda zero, logo primeira linha de N^2 é toda zero.
  • Segunda linha de N é (2,0,0,0). Multiplicando por N dá segunda linha de N^2 toda zero.
  • Terceira linha de N é (3,2,0,0). Para (N^2)_{31} temos
(N^2)_{31}=3\cdot N_{11}+2\cdot N_{21}=3\cdot 0 + 2\cdot 2 = 4,
e as demais entradas da terceira linha ficam zero (porque N_{1j}=N_{2j}=0 para j\ge2). Logo terceira linha de N^2 é (4,0,0,0).
  • Quarta linha de N é (4,3,2,0). Calculando:
(N^2)_{41}=4\cdot N_{11}+3\cdot N_{21}+2\cdot N_{31}=0+3\cdot 2 + 2\cdot 3 = 6+6=12,
(N^2)_{42}=4\cdot N_{12}+3\cdot N_{22}+2\cdot N_{32}=0+0+2\cdot 2 =4,
e as demais entradas são zero. Logo quarta linha de N^2 é (12,4,0,0).
Portanto
N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 0 & 0 & 0 \\\\ 12 & 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Cálculo de N^3 = N^2 N.
  • As duas primeiras linhas de N^2 são nulas, então as duas primeiras linhas de N^3 são nulas.
  • Terceira linha de N^2 é (4,0,0,0). Multiplicando por N dá terceira linha de N^3 toda zero (pois é 4 vezes a primeira linha de N, que é zero).
  • Quarta linha de N^2 é (12,4,0,0). Multiplicando por N:
(N^3)_{41}=12\cdot N_{11}+4\cdot N_{21}=0+4\cdot 2 =8,
as demais entradas dessa linha são zero.
Logo
N^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 8 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

Verificação de nilpotência e conclusão sobre a fórmula: multiplicando N^3 por N obtemos N^4=\mathbf{0}, porque a única possível contribuição viria da primeira linha de N, que é zero. Assim N^4=\mathbf{0} e a fórmula truncada é válida:
C^{-1} = (I+N)^{-1} = I - N + N^2 - N^3.

Passo 7

Agora somo termo a termo para obter C^{-1}.
Escrevo os termos:
I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad -N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -2 & 0 & 0 & 0 \\\\ -3 & -2 & 0 & 0 \\\\ -4 & -3 & -2 & 0 \end{pmatrix},
N^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 4 & 0 & 0 & 0 \\\\ 12 & 4 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad -N^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -8 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Somando linha a linha:
  • Primeira linha: (1,0,0,0).
  • Segunda linha: soma de (0,1,0,0) com (-2,0,0,0) e zeros restantes resulta em (-2,1,0,0).
  • Terceira linha: (0,0,1,0) + (-3,-2,0,0) + (4,0,0,0) = (1,-2,1,0).
  • Quarta linha: (0,0,0,1) + (-4,-3,-2,0) + (12,4,0,0) + (-8,0,0,0) = (0,1,-2,1).
Portanto
C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

C^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & -2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

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