Informações dadas (todos os elementos da matriz): as entradas de E são as mostradas acima. A única pergunta é: existe E^{-1}? Se sim, qual é ela?
Passo 2
Explicando o método (bem devagar, como um amigo explicando):
Para encontrar E^{-1} usamos o método de eliminação de Gauss–Jordan aplicado na matriz aumentada \bigl[E \mid I\bigr], onde I é a matriz identidade 4\times4.
Ideia: realizar operações elementares por linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo, somar múltiplos de uma linha em outra) até que o bloco esquerdo vire a identidade. Essas operações correspondem a multiplicar por matrizes elementares que são inversíveis; se for possível transformar E em I por essas operações, então a parte direita se transforma em E^{-1}.
Operações elementares permitidas:
L_i \leftrightarrow L_j (trocar linhas),
L_i \leftarrow \lambda L_i com \lambda\neq0 (multiplicar uma linha),
L_i \leftarrow L_i + \mu L_j (somar múltiplo de outra linha).
Vamos aplicar passo a passo em \bigl[E\mid I\bigr].
Para trabalhar a coluna 2 escolho uma linha com pivô “bom” (evitar frações desconfortáveis). Troco L_2 e L_3 (ou seja, L_2 \leftrightarrow L_3). Após a troca, faço L_2 \leftarrow \dfrac{2}{7}L_2 para pivotar com 1 na posição (2,2).
Resultado de L_2:
Agora a matriz tem zeros nas colunas 1 e 2, exceto nos pivôs. Passamos para a coluna 3. Observamos que L_4 tem entrada 1 em (4,3), o que é ótimo para pivô. Troco L_3 com L_4 para colocar esse pivô na linha 3: L_3 \leftrightarrow L_4.
Assim L_3=\left(0,0,1,-1\;\middle|\;1,0,-2,1\right).
Agora zeramos as outras entradas na coluna 3:
L_1 \leftarrow L_1 - \tfrac{1}{2}L_3 (porque L_1 tem \tfrac{1}{2} na coluna 3),
L_4 \leftarrow L_4 + \tfrac{3}{2}L_3 (porque L_4 tem -\tfrac{3}{2} na coluna 3).
Fazendo as contas obtemos:
Falta tratar a coluna 4. Observa-se que agora apenas entradas não nulas na coluna 4 (na parte esquerda) estão nas linhas L_1,L_2,L_3,L_4 com valores \tfrac{1}{14},\tfrac{2}{7},-1,\tfrac{1}{14}. A linha L_4 tem forma especial com zeros nas colunas 1 a 3 e \tfrac{1}{14} na coluna 4, então é conveniente usá-la como pivô escalando:
Multiplico L_4 por 14: L_4 \leftarrow 14L_4, obtendo
L_4=\left(0,0,0,1\;\middle|\;10,14,-41,21\right).
Agora anulo as entradas das outras linhas na coluna 4:
L_1 \leftarrow L_1 - \tfrac{1}{14}L_4 (pois L_1 tem \tfrac{1}{14}),
L_2 \leftarrow L_2 - \tfrac{2}{7}L_4 (pois L_2 tem \tfrac{2}{7}),