EXERCÍCIOS:
Determine, se existir, a inversa das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)
B=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 1 \\\\ 2 & -1 & 1 & 0 \\\\ 1 & -3 & -2 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)
C=\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)
D=\left(\begin{array}{cccc}-1 & 2 & 0 & -8 \\\\ 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)
E=\left(\begin{array}{cccc}4 & -1 & 2 & -2 \\\\ 3 & -1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 \\\\ 0 & 7 & 1 & 1\end{array}\right)
F=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)
G=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 3 & 11 & 4\end{array}\right)
H=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 1 & 2 & 2\end{array}\right)
I=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & -3 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & -2 & 5\end{array}\right]
J=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 2 & 1\end{array}\right)
L=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & -3 & -6 \\\\ 7 & 8 & 9\end{array}\right)
M=\left(\begin{array}{lll}-1 & -2 & -3 \\\\ -2 & -4 & -5 \\\\ -3 & -5 & -6\end{array}\right)
N=\left(\begin{array}{ccc}-3 & -1 & -3 \\\\ 2 & -4 & -1 \\\\ -1 & -2 & -2\end{array}\right)
O=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & -4 \\\\ -2 & -1 & 2 \\\\ 3 & 0 & -5\end{array}\right)
P=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\\\ 1 & 4 & -2 \\\\ -1 & -7 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: para cada uma das matrizes listadas, determinar a inversa quando ela existir ou dizer que não existe. As matrizes fornecidas são:
\begin{aligned} &A=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\\ 1&1&0&1\\\ 0&0&1&1\\\ 1&1&1&1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1&-1&1\\\ 2&-1&1&0\\\ 1&-3&-2&0\\\ 1&1&1&1\end{pmatrix},\\[4pt] &C=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\ 2&1&0&0\\\ 3&2&1&0\\\ 4&3&2&1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}-1&2&0&-8\\\ 0&-1&2&1\\\ 0&0&-1&1\\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix},\\[4pt] &E=\begin{pmatrix}4&-1&2&-2\\\ 3&-1&0&0\\\ 2&3&1&0\\\ 0&7&1&1\end{pmatrix},\quad F=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 2&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix},\\[4pt] &G=\begin{pmatrix}1&3&1\\\ 0&2&1\\\ 3&11&4\end{pmatrix},\quad H=\begin{pmatrix}1&2&1\\\ 2&1&1\\\ 1&2&2\end{pmatrix},\\[4pt] &I=\begin{pmatrix}-1&2&-3\\\ 2&1&0\\\ 4&-2&5\end{pmatrix},\quad J=\begin{pmatrix}2&2&1\\\ 2&1&-1\\\ 3&2&1\end{pmatrix},\\[4pt] &L=\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 0&-3&-6\\\ 7&8&9\end{pmatrix},\quad M=\begin{pmatrix}-1&-2&-3\\\ -2&-4&-5\\\ -3&-5&-6\end{pmatrix},\\[4pt] &N=\begin{pmatrix}-3&-1&-3\\\ 2&-4&-1\\\ -1&-2&-2\end{pmatrix},\quad O=\begin{pmatrix}1&-2&-4\\\ -2&-1&2\\\ 3&0&-5\end{pmatrix},\\[4pt] &P=\begin{pmatrix}0&2&-1\\\ 1&4&-2\\\ -1&-7&3\end{pmatrix}. \end{aligned}
O objetivo é, para cada matriz, decidir se é inversível e, se for, encontrar sua inversa.]

Passo 2

Método e conceitos usados (essencial para entender as resoluções que seguem):
  • Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, sua determinante \det(A) for diferente de zero. Para 2\times2 e 3\times3 é prático calcular \det(A) diretamente; para 4\times4 a verificação por operações de linha junto com a eliminação é preferível.
  • Método principal usado: eliminação de Gauss-Jordan aplicada à matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr]. O objetivo é aplicar operações elementares de linha para transformar o bloco esquerdo em I; o bloco direito se transformará então em A^{-1}.
  • Para matrizes triangulares com elementos simples na diagonal (por exemplo triangular com diagonais todos 1 ou todos -1), é mais eficiente usar substituição direta (forward/back substitution).
  • Para matrizes 3\times3 também foi usado, quando conveniente, o método da adjunta (matriz dos cofatores, transposta = adjunta, e dividir por \det).
  • Em todos os desenvolvimentos abaixo as contas são mostradas passo a passo: quando uso uma operação de linha, escrevo a operação e o resultado relevante.
Agora aplico esses métodos matriz a matriz.

Passo 3

Matriz A. Vou usar Gauss-Jordan em \bigl[A\mid I\bigr].
Início:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&1&0&1&0&0&0\\\\ 1&1&0&1&0&1&0&0\\\\ 0&0&1&1&0&0&1&0\\\\ 1&1&1&1&0&0&0&1 \end{array}\right]
Operações (explicadas brevemente):
  • R_2\leftarrow R_2-R_1, R_4\leftarrow R_4-R_1:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&1&0&1&0&0&0\\\\ 0&1&-1&1&-1&1&0&0\\\\ 0&0&1&1&0&0&1&0\\\\ 0&1&0&1&-1&0&0&1 \end{array}\right]
  • R_4\leftarrow R_4-R_2:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&1&0&1&0&0&0\\\\ 0&1&-1&1&-1&1&0&0\\\\ 0&0&1&1&0&0&1&0\\\\ 0&0&1&0&0&-1&0&1 \end{array}\right]
  • Usando R_3 para eliminar coluna 3 nas outras linhas: R_1\leftarrow R_1-R_3, R_2\leftarrow R_2+R_3, R_4\leftarrow R_4-R_3:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&-1&1&0&-1&0\\\\ 0&1&0&2&-1&1&1&0\\\\ 0&0&1&1&0&0&1&0\\\\ 0&0&0&-1&0&-1&-1&1 \end{array}\right]
  • R_4\leftarrow -R_4 para pivot em 1, depois eliminar coluna 4: R_1\leftarrow R_1+R_4, R_2\leftarrow R_2-2R_4, R_3\leftarrow R_3-R_4:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&0&0&0&1&1&0&-1\\\\ 0&1&0&0&-1&-1&-1&2\\\\ 0&0&1&0&0&-1&0&1\\\\ 0&0&0&1&0&1&1&-1 \end{array}\right]
Assim o bloco direito é A^{-1}. Logo
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&1&0&-1\\\\ -1&-1&-1&2\\\\ 0&-1&0&1\\\\ 0&1&1&-1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Matriz B. Faço Gauss-Jordan em \bigl[B\mid I\bigr] (mostro as operações-chaves e simplifico números quando conveniente).
Início:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1&1&-1&1&1&0&0&0\\\\ 2&-1&1&0&0&1&0&0\\\\ 1&-3&-2&0&0&0&1&0\\\\ 1&1&1&1&0&0&0&1 \end{array}\right]
Operações principais (sintetizadas):
  • Eliminar na coluna 1: R_2\leftarrow R_2-2R_1, R_3\leftarrow R_3-R_1, R_4\leftarrow R_4-R_1.
  • Tornar pivô na linha 2: dividir por -3 e usar para zerar coluna 2 nas demais linhas.
  • Escolher linha com pivô na coluna 3 (obtivemos linha com 2), normalizar e usar para zerar coluna 3.
  • Por fim normalizar última linha (coluna 4) e eliminar acima.
O resultado final (após as operações detalhadas) é:
B^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}&\dfrac{3}{5}&-\dfrac{1}{5}&-\dfrac{1}{2}\\[6pt] \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{5}&-\dfrac{2}{5}&-\dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2}&0&0&\dfrac{1}{2}\\[6pt] -\dfrac{1}{2}&-\dfrac{4}{5}&\dfrac{3}{5}&\dfrac{3}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Matriz C (triangular inferior com diagonal de uns). Uso resolução por substituição (mais rápido que Gauss-Jordan).
Procuramos X=C^{-1} resolvendo CX=I coluna a coluna. Fazendo forward-substitution obtemos as quatro colunas:
C^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\\\ -2&1&0&0\\\\ 1&-2&1&0\\\\ 0&1&-2&1 \end{pmatrix}.
(Verificação: C é unit-lower-triangular, sua inversa é novamente unit-lower-triangular; as entradas acima são obtidas resolvendo sistemas Cx=e_i.)

Passo 6

Matriz D (triangular superior, diagonal com -1). Uso back-substitution.
Resolvo D X = I coluna a coluna por substituição regressiva; com -1 na diagonal o cálculo fica simples. As colunas resultantes foram:
D^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & -2 & -4 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
(Procedimento: usar a última equação para cada coluna, subir resolvendo cada incógnita.)]

Passo 7

Matriz E. Faço Gauss-Jordan em \bigl[E\mid I\bigr]. Mostro as operações-chaves (multiplicações de linhas e eliminações), mantendo frações simplificadas ao final.
Depois de aplicar as operações elementares para obter a identidade no lado esquerdo, o lado direito ficou:
E^{-1}=\begin{pmatrix} -1&-1&4&-2\\[4pt] -3&-4&12&-6\\[4pt] 11&14&-43&22\\[4pt] 10&14&-41&21 \end{pmatrix}.
(Confirme multiplicando E por essa matriz, dá I.)]

Passo 8

Matriz F (triangular inferior com 1 na diagonal). Usando forward-substitution (sem cálculo longo):
F^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ -2&1&0\\\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.

Passo 9

Matriz G. Calculo do determinante (favor verificar que é o teste prático para inversibilidade de 3\times3):
\det(G)=1\cdot(2\cdot4-1\cdot11)-3\cdot(0\cdot4-1\cdot3)+1\cdot(0\cdot11-2\cdot3)=-3+9-6=0.
Como \det(G)=0, a matriz G não é inversível. Logo a inversa não existe.

Passo 10

Matriz H ( 3\times3). Calculei \det(H)=-5\neq0, então é inversível. Usei a matriz dos cofatores (adjunta) e dividi por \det(H); o resultado:
H^{-1}=\begin{pmatrix} 0&\tfrac{2}{5}&-\tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{3}{5}&-\tfrac{1}{5}&-\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{3}{5}&\tfrac{1}{5}&\tfrac{3}{5} \end{pmatrix}.]

Passo 11

Matriz I ( 3\times3). Calculei \det(I)=-1\neq0 e utilizei adjunta/ \det. A inversa fica (note que \det=-1 inverte o sinal da adjunta):
I^{-1}=\begin{pmatrix} -5&4&-3\\[4pt] 10&-7&6\\[4pt] 8&-6&5 \end{pmatrix}.]

Passo 12

Matriz J ( 3\times3). Calculei \det(J)=-3\neq0. Usei adjunta e dividi por \det. O resultado é:
J^{-1}=\begin{pmatrix} -1&0&1\\[4pt] \dfrac{5}{3}&\dfrac{1}{3}&-\dfrac{4}{3}\\[4pt] -\dfrac{1}{3}&-\dfrac{2}{3}&\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}.]

Passo 13

Matriz L. Calculei \det(L)=0 (expansão por co-fatores mostra cancelamentos com resultado zero). Logo L não é inversível; a inversa não existe.

Passo 14

Matriz M ( 3\times3). Calculei \det(M)=1\neq0. Usei cofatores; a adjunta resultou em
M^{-1}=\begin{pmatrix} -1&3&-2\\[4pt] 3&-3&1\\[4pt] -2&1&0 \end{pmatrix}.]

Passo 15

Matriz N ( 3\times3). Calculei \det(N)=1\neq0. A adjunta deu (já transposta corretamente):
N^{-1}=\begin{pmatrix} 6&4&-11\\[4pt] 5&3&-9\\[4pt] -8&-5&14 \end{pmatrix}.]

Passo 16

Matriz O ( 3\times3). Tem \det(O)=1. A inversa obtida via adjunta foi:
O^{-1}=\begin{pmatrix} 5&-10&-8\\[4pt] -4&7&6\\[4pt] 3&-6&-5 \end{pmatrix}.]

Passo 17

Matriz P ( 3\times3). Calculei \det(P)=1. A adjunta dividida por \det dá:
P^{-1}=\begin{pmatrix} -2&1&0\\[4pt] -1&-1&-1\\[4pt] -3&-2&-2 \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&0&-1\\\ -1&-1&-1&2\\\ 0&-1&0&1\\\ 0&1&1&-1\end{pmatrix}
B^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}&\tfrac{3}{5}&-\tfrac{1}{5}&-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}&\tfrac{1}{5}&-\tfrac{2}{5}&-\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}&0&0&\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}&-\tfrac{4}{5}&\tfrac{3}{5}&\tfrac{3}{2}\end{pmatrix}
C^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\ -2&1&0&0\\\ 1&-2&1&0\\\ 0&1&-2&1\end{pmatrix}
D^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-2&-4&2\\\ 0&-1&-2&-3\\\ 0&0&-1&-1\\\ 0&0&0&-1\end{pmatrix}
E^{-1}=\begin{pmatrix}-1&-1&4&-2\\\ -3&-4&12&-6\\\ 11&14&-43&22\\\ 10&14&-41&21\end{pmatrix}
F^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ -2&1&0\\\ 0&0&1\end{pmatrix}
G não é inversível (não existe G^{-1})
H^{-1}=\begin{pmatrix}0&\tfrac{2}{5}&-\tfrac{1}{5}\\[4pt]\tfrac{3}{5}&-\tfrac{1}{5}&-\tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{3}{5}&\tfrac{1}{5}&\tfrac{3}{5}\end{pmatrix}
I^{-1}=\begin{pmatrix}-5&4&-3\\[4pt]10&-7&6\\[4pt]8&-6&5\end{pmatrix}
J^{-1}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\[4pt]\tfrac{5}{3}&\tfrac{1}{3}&-\tfrac{4}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{3}&-\tfrac{2}{3}&\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}
L não é inversível (não existe L^{-1})
M^{-1}=\begin{pmatrix}-1&3&-2\\[4pt]3&-3&1\\[4pt]-2&1&0\end{pmatrix}
N^{-1}=\begin{pmatrix}6&4&-11\\[4pt]5&3&-9\\[4pt]-8&-5&14\end{pmatrix}
O^{-1}=\begin{pmatrix}5&-10&-8\\[4pt]-4&7&6\\[4pt]3&-6&-5\end{pmatrix}
P^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1&0\\[4pt]-1&-1&-1\\[4pt]-3&-2&-2\end{pmatrix}]

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