A é a matriz 3\times3 cujos elementos estão indicados acima.
A pergunta é: existe A^{-1}? Se sim, qual é ela?]
Passo 2
Por que primeiro calcular o determinante? Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, \det(A)\neq0. Então vamos calcular \det(A). Para uma matriz 3\times3 com linhas L_1,L_2,L_3, uma forma prática é expandir pela primeira linha:
Como \det(A)=1\neq0, a matriz A é invertível e existe A^{-1}. Como o determinante é 1, esperamos que os coeficientes da inversa sejam inteiros (isto já é um indício agradável).
Passo 4
Método escolhido para obter A^{-1}: eliminação de Gauss–Jordan aplicando operações elementares às linhas na matriz aumentada [A\mid I]. Explico rapidamente:
Monta-se a matriz aumentada [A\mid I], onde I é a identidade 3\times3.
Aplicam-se operações elementares de linha (trocar linhas; multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero; somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha) até que o lado esquerdo vire I. O lado direito então se transforma em A^{-1}.
As operações elementares correspondem a multiplicar A por matrizes elementares à esquerda; quando reduzimos A até I, estamos efetivamente aplicando A^{-1} nessas operações, e o resultado no lado direito é a inversa.
Agora trabalhar a terceira coluna. Primeiro tornar o pivô (3,3) igual a 1:
R_3\leftarrow -1\cdot R_3, resultando em
R_3=[0,\,0,\,1\mid 6,\,-1,\,-1].
Com esse pivô 1 em (3,3), eliminar a entrada 2 em (1,3) usando R_1\leftarrow R_1-2R_3. (Não há necessidade de eliminar em R_2 porque a posição (2,3) já é 0.)
Calcule o novo R_1:
Lado esquerdo: [1,\,0,\,2]-2[0,\,0,\,1]=[1,\,0,\,0].
Lado direito: [1,\,0,\,0]-2[6,\,-1,\,-1]=[1-12,\;0-(-2),\;0-(-2)]=[-11,\;2,\;2].
Após essa operação as linhas ficam:
R_1=[1,\,0,\,0\mid -11,\,2,\,2],
R_2=[0,\,1,\,0\mid -4,\,0,\,1],
R_3=[0,\,0,\,1\mid 6,\,-1,\,-1].
Agora o lado esquerdo é a matriz identidade I_3. Pelo processo, o lado direito é A^{-1}.
Passo 8
Resumo do que foi conseguido: reduzimos [A\mid I] para [I\mid B]. Pelo procedimento de Gauss–Jordan o bloco B à direita é exatamente a inversa A^{-1}. Para conferir rapidamente, pode-se multiplicar A por B e verificar que resulta em I (uma checagem parcial foi feita mentalmente durante os passos e confirma-se que a redução está correta).