Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existir, a inversa da matriz
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\[4pt] 2 & -1 & 3 \\[4pt] 4 & 1 & 8\end{array}\right].
Informações dadas explicitamente:
  • A é a matriz 3\times3 cujos elementos estão indicados acima.
  • A pergunta é: existe A^{-1}? Se sim, qual é ela?]

Passo 2

Por que primeiro calcular o determinante? Uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, \det(A)\neq0. Então vamos calcular \det(A). Para uma matriz 3\times3 com linhas L_1,L_2,L_3, uma forma prática é expandir pela primeira linha:
\det(A)=a_{11}\det\!\left(\begin{array}{cc}a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{32} & a_{33}\end{array}\right) - a_{12}\det\!\left(\begin{array}{cc}a_{21} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{33}\end{array}\right) + a_{13}\det\!\left(\begin{array}{cc}a_{21} & a_{22}\\[4pt] a_{31} & a_{32}\end{array}\right).
Aqui a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j de A.
Aplicando isso a A:
\det(A)=1\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}-1 & 3\\[4pt] 1 & 8\end{array}\right) - 0\cdot(\cdots) + 2\cdot\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & -1\\[4pt] 4 & 1\end{array}\right).
Agora calcule as determinantes 2\times2. Para uma 2\times2 \left[\begin{smallmatrix}p & q\\\ r & s\end{smallmatrix}\right], o determinante é ps-qr.
Primeiro menor:
\det\!\left(\begin{array}{cc}-1 & 3\\[4pt] 1 & 8\end{array}\right)=(-1)\cdot 8 - 3\cdot 1 = -8-3=-11.
Segundo menor:
\det\!\left(\begin{array}{cc}2 & -1\\[4pt] 4 & 1\end{array}\right)=2\cdot 1 - (-1)\cdot 4 = 2+4=6.
Logo
\det(A)=1\cdot(-11)+2\cdot 6 = -11+12=1.]

Passo 3

Como \det(A)=1\neq0, a matriz A é invertível e existe A^{-1}. Como o determinante é 1, esperamos que os coeficientes da inversa sejam inteiros (isto já é um indício agradável).

Passo 4

Método escolhido para obter A^{-1}: eliminação de Gauss–Jordan aplicando operações elementares às linhas na matriz aumentada [A\mid I]. Explico rapidamente:
  • Monta-se a matriz aumentada [A\mid I], onde I é a identidade 3\times3.
  • Aplicam-se operações elementares de linha (trocar linhas; multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero; somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha) até que o lado esquerdo vire I. O lado direito então se transforma em A^{-1}.
    As operações elementares correspondem a multiplicar A por matrizes elementares à esquerda; quando reduzimos A até I, estamos efetivamente aplicando A^{-1} nessas operações, e o resultado no lado direito é a inversa.
Começamos com a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminar entradas abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_1 para zerar entradas embaixo):
  • R_2\leftarrow R_2-2R_1.
  • R_3\leftarrow R_3-4R_1.
Calcule cada linha nova:
Para R_2:
[2,\,-1,\,3]-2[1,\,0,\,2]=[0,\,-1,\,-1]
e do lado direito
[0,\,1,\,0]-2[1,\,0,\,0]=[-2,\,1,\,0].
Para R_3:
[4,\,1,\,8]-4[1,\,0,\,2]=[0,\,1,\,0]
e do lado direito
[0,\,0,\,1]-4[1,\,0,\,0]=[-4,\,0,\,1].
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Tornar o pivô da segunda coluna igual a 1 e eliminar acima/abaixo dele. Para facilitar, trocamos R_2 e R_3 porque R_3 já tem 1 na posição (3,2):
  • R_2 \leftrightarrow R_3.
Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right].
Agora eliminar a entrada -1 em (3,2) usando R_3\leftarrow R_3+R_2:
[0,-1,-1]+[0,1,0]=[0,0,-1],
e do lado direito
[-2,\,1,\,0]+[-4,\,0,\,1]=[-6,\,1,\,1].
A matriz aumentada passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -6 & 1 & 1 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora trabalhar a terceira coluna. Primeiro tornar o pivô (3,3) igual a 1:
  • R_3\leftarrow -1\cdot R_3, resultando em
R_3=[0,\,0,\,1\mid 6,\,-1,\,-1].
Com esse pivô 1 em (3,3), eliminar a entrada 2 em (1,3) usando R_1\leftarrow R_1-2R_3. (Não há necessidade de eliminar em R_2 porque a posição (2,3) já é 0.)
Calcule o novo R_1:
  • Lado esquerdo: [1,\,0,\,2]-2[0,\,0,\,1]=[1,\,0,\,0].
  • Lado direito: [1,\,0,\,0]-2[6,\,-1,\,-1]=[1-12,\;0-(-2),\;0-(-2)]=[-11,\;2,\;2].
Após essa operação as linhas ficam:
R_1=[1,\,0,\,0\mid -11,\,2,\,2],
R_2=[0,\,1,\,0\mid -4,\,0,\,1],
R_3=[0,\,0,\,1\mid 6,\,-1,\,-1].
Agora o lado esquerdo é a matriz identidade I_3. Pelo processo, o lado direito é A^{-1}.

Passo 8

Resumo do que foi conseguido: reduzimos [A\mid I] para [I\mid B]. Pelo procedimento de Gauss–Jordan o bloco B à direita é exatamente a inversa A^{-1}. Para conferir rapidamente, pode-se multiplicar A por B e verificar que resulta em I (uma checagem parcial foi feita mentalmente durante os passos e confirma-se que a redução está correta).

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc} -11 & 2 & 2\\[4pt] -4 & 0 & 1\\[4pt] 6 & -1 & -1 \end{array}\right].]

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