Informações dadas (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
A matriz C é 3\times3 com entradas mostradas acima.
O que precisa ser respondido:
Existe a matriz inversa C^{-1}? Se existir, apresentar C^{-1}. Se não existir, afirmar que não existe e justificar.]
Passo 2
Plano escolhido e por que: antes de tentar encontrar explicitamente uma inversa por eliminação de Gauss, é mais prático verificar se C é invertível calculando o determinante \det\text{(C)}. Regra fundamental (explicação didática): para uma matriz quadrada A vale
A \text{ é invertível} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq 0.éí
Raciocínio simples: \det(A)=0 significa que as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes, então não existe transformação linear inversa; se \det(A)\neq0, então existe A^{-1}.
Para matrizes 3\times3 uma maneira prática de calcular \det é a expansão pela primeira linha (cofatores). Vou usar isso e mostrar passo a passo.
Passo 3
Calcular \det\text{(C)} por expansão na primeira linha. A fórmula de expansão pela primeira linha é
Interpretação do resultado: obtivemos \det\text{(C)}=0. Pela propriedade explicada no Passo 2, isso significa que C não é invertível — ou seja, não existe C^{-1}.
Para reforçar a intuição (explicação didática e útil para prova): determinante zero costuma vir acompanhado de dependência linear entre linhas (ou colunas). Podemos mostrar essa dependência aqui: procurar escalares a,b tais que
Subtraindo duas vezes a primeira da segunda ou resolvendo o sistema, obtém-se b=1 e a=3. Verificando a terceira equação: 3\cdot1 + 1\cdot1 = 4 confirma. Portanto
Isto é uma dependência linear entre linhas, e é exatamente a razão pela qual \det\text{(C)}=0 e C não possui inversa.
Passo 5
Breve verificação via eliminação (opcional, para ver na prática): se tentássemos aplicar Gauss-Jordan a [C\mid I] para obter [I\mid C^{-1}], chegaríamos a uma linha nula no bloco da esquerda (coincidindo com \det=0), o que impede obter a identidade. Isso confirma concretamente que não há inversa.