Determine, se existir, a inversa da seguinte matriz:
C=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 5 & 7 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existir, a inversa da matriz
C=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 1 \\[4pt] 5 & 7 & 4\end{pmatrix}.
Informações dadas (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
  • A matriz C é 3\times3 com entradas mostradas acima.
O que precisa ser respondido:
  • Existe a matriz inversa C^{-1}? Se existir, apresentar C^{-1}. Se não existir, afirmar que não existe e justificar.]

Passo 2

Plano escolhido e por que: antes de tentar encontrar explicitamente uma inversa por eliminação de Gauss, é mais prático verificar se C é invertível calculando o determinante \det\text{(C)}. Regra fundamental (explicação didática): para uma matriz quadrada A vale
A \text{ é invertível} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq 0.éí
Raciocínio simples: \det(A)=0 significa que as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes, então não existe transformação linear inversa; se \det(A)\neq0, então existe A^{-1}.
Para matrizes 3\times3 uma maneira prática de calcular \det é a expansão pela primeira linha (cofatores). Vou usar isso e mostrar passo a passo.

Passo 3

Calcular \det\text{(C)} por expansão na primeira linha. A fórmula de expansão pela primeira linha é
\det\text{(C)}=c_{11}\det(M_{11})-c_{12}\det(M_{12})+c_{13}\det(M_{13}),
onde c_{1j} são os elementos da primeira linha e M_{1j} são as menores (matrizes 2\times2 obtidas eliminando linha 1 e coluna j).
Aqui c_{11}=1, c_{12}=2, c_{13}=1. Vamos calcular cada menor:
  • Menor M_{11} (eliminando linha 1 e coluna 1):
M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 7 & 4\end{pmatrix}, \quad \det(M_{11}) = 1\cdot 4 - 1\cdot 7 = 4-7 = -3.
  • Menor M_{12} (eliminando linha 1 e coluna 2):
M_{12}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 5 & 4\end{pmatrix}, \quad \det(M_{12}) = 2\cdot 4 - 1\cdot 5 = 8-5 = 3.
  • Menor M_{13} (eliminando linha 1 e coluna 3):
M_{13}=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 5 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(M_{13}) = 2\cdot 7 - 1\cdot 5 = 14-5 = 9.
Agora a expansão:
\det\text{(C)}=1\cdot(-3)-2\cdot 3 + 1\cdot 9 = -3 -6 +9 = 0.]

Passo 4

Interpretação do resultado: obtivemos \det\text{(C)}=0. Pela propriedade explicada no Passo 2, isso significa que C não é invertível — ou seja, não existe C^{-1}.
Para reforçar a intuição (explicação didática e útil para prova): determinante zero costuma vir acompanhado de dependência linear entre linhas (ou colunas). Podemos mostrar essa dependência aqui: procurar escalares a,b tais que
a\cdot (\text{linha }1) + b\cdot (\text{linha }2) = \text{linha }3.
Escrevendo as equações para as colunas:
a\cdot 1 + b\cdot 2 = 5,\qquad a\cdot 2 + b\cdot 1 = 7,\qquad a\cdot 1 + b\cdot 1 = 4.
Resolvendo as duas primeiras equações:
a + 2b = 5,\qquad 2a + b = 7.
Subtraindo duas vezes a primeira da segunda ou resolvendo o sistema, obtém-se b=1 e a=3. Verificando a terceira equação: 3\cdot1 + 1\cdot1 = 4 confirma. Portanto
3\cdot (\text{linha }1) + 1\cdot (\text{linha }2) = \text{linha }3.
Isto é uma dependência linear entre linhas, e é exatamente a razão pela qual \det\text{(C)}=0 e C não possui inversa.

Passo 5

Breve verificação via eliminação (opcional, para ver na prática): se tentássemos aplicar Gauss-Jordan a [C\mid I] para obter [I\mid C^{-1}], chegaríamos a uma linha nula no bloco da esquerda (coincidindo com \det=0), o que impede obter a identidade. Isso confirma concretamente que não há inversa.

Resposta

A matriz C não é invertível (não possui inversa).

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