Utilize a condição dada e se baseie nas propriedades para obter os determinantes a seguir:
Sendo \left|\begin{array}{lll}x & y & 1 \\\ a & b & 1 \\\ c & d & 1\end{array}\right|=d, calcular \left|\begin{array}{lll}x & y & 1 \\\ c & d & 1 \\\ a & b & 1\end{array}\right|.
Passo 1
O enunciado nos dá o valor do determinante da matriz 3\times3 cujas linhas são (x,y,1), (a,b,1) e (c,d,1):
\left|\begin{array}{ccc} x & y & 1\\[4pt] a & b & 1\\[4pt] c & d & 1 \end{array}\right| = d.
A pergunta é: calcular o valor do determinante quando as segunda e terceira linhas são trocadas, ou seja
\left|\begin{array}{ccc} x & y & 1\\[4pt] c & d & 1\\[4pt] a & b & 1 \end{array}\right|.]
Passo 2
Vamos recordar uma forma prática de calcular determinantes 3\times3: a regra de Sarrus. Para a matriz cujas linhas são (x,y,1), (a,b,1), (c,d,1) o determinante D pode ser escrito como soma de três produtos positivos menos soma de três produtos negativos:
D = x b\cdot 1 + y\cdot 1\cdot c + 1\cdot a\cdot d \;-\; \big(1\cdot b\cdot c + x\cdot 1\cdot d + y\cdot a\cdot 1\big).
Agora vamos organizar esses termos de forma simples (cada termo é um produto de três entradas, sempre em ordem cíclica ou anti‑cíclica):
D = x b + y c + a d - b c - x d - y a.
Isto é apenas a expansão explícita do determinante original.
Passo 3
Agora calculemos o determinante D' da matriz com as linhas 2 e 3 trocadas, usando a mesma regra de Sarrus. Para as linhas (x,y,1), (c,d,1), (a,b,1) obtemos:
D' = x d\cdot 1 + y\cdot 1\cdot a + 1\cdot c\cdot b \;-\; \big(1\cdot d\cdot a + x\cdot 1\cdot b + y\cdot c\cdot 1\big).
Reescrevendo de forma análoga:
D' = x d + y a + b c - d a - x b - y c.
Passo 4
Vamos comparar D e D'. Somando as duas expressões que obtivemos:
\begin{aligned} D + D' &= (x b + y c + a d - b c - x d - y a) \\\ &\quad + (x d + y a + b c - d a - x b - y c). \end{aligned}
Repare que, termo a termo, tudo se cancela:
x b cancela com -x b,
y c cancela com -y c,
a d cancela com -d a (mesmo termo),
-b c cancela com +b c,
-x d cancela com +x d,
-y a cancela com +y a.
Logo D + D' = 0, ou seja
D' = -D.
Isto coincide com a propriedade geral dos determinantes: trocar duas linhas (ou duas colunas) muda o sinal do determinante.
Passo 5
Como o enunciado informou que o determinante original vale d, isto é D=d, concluímos que o determinante com as linhas 2 e 3 trocadas vale