(9) Determine, se existir, os seguintes limites:
lim x 2|x^2-42-x|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto2|x^2-42-x|
O conteúdo envolvido é limite de função com valor absoluto e uso de fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos o numerador e reescrevemos o denominador:
x^2-4=(x-2)(x+2), 2-x=-(x-2)
Logo, para xneq2,
x^2-42-x =(x-2)(x+2)-(x-2)

Passo 3

Simplificando a fração pelo fator comum (x-2), obtemos
(x-2)(x+2)-(x-2)=-(x+2)

Passo 4

Agora aplicamos o valor absoluto:
|-(x+2)|=|x+2|
Quando x se aproxima de 2, temos x+2>0, pois 2+2=4>0. Assim, perto de x=2 vale
|x+2|=x+2

Passo 5

Basta então calcular
limxto2(x+2)=2+2=4

Resposta

O limite existe e vale 4.

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