Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
f(x, y)=x^3-3 x+3 x y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
f(x,y)=x^3-3x+3xy^2
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos usar derivadas parciais para achar os pontos em que o gradiente se anula e depois empregar o critério da matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f. Temos
fx(x,y)=partialpartial xl(x^3-3x+3xy^2r) =3x^2-3+3y^2
e
fy(x,y)=partialpartial yl(x^3-3x+3xy^2r) =6xy
Os pontos críticos satisfazem
fx(x,y)=0 e fy(x,y)=0

Passo 3

Resolvendo o sistema
3x^2-3+3y^2=0 Longrightarrow x^2+y^2=1,
6xy=0 Longrightarrow x=0ou y=0
A interseção da circunferência x^2+y^2=1 com x=0 (0,1) e (0,-1). Com y=0 (1,0) e (-1,0). Logo, os pontos críticos são
(1,0),;(-1,0),;(0,1),;(0,-1)

Passo 4

Para classificar usamos a matriz Hessiana
Hf(x,y) = fxx & fxy[6pt] fyx & fyy
com
fxx=6x, fxy=6y, fyy=6x
O discriminante é
D(x,y)=fxxfyy-fxy^2 =(6x)(6x)-(6y)^2 =36(x^2-y^2) ]

Passo 5

Avaliação em cada ponto crítico:
Em (1,0):
D(1,0)=36(1^2-0)=36>0, fxx(1,0)=6>0
logo é mínimo local com valor
f(1,0)=1^3-3cdot1+3cdot1cdot0^2=-2
Em (-1,0):
D(-1,0)=36((-1)^2-0)=36>0, fxx(-1,0)=6(-1)=-6<0
logo é máximo local com valor
f(-1,0)=(-1)^3-3(-1)+0=2
Em (0,1) e (0,-1):
D(0,pm1)=36(0-1)=-36<0
logo são pontos de sela.

Resposta

Mínimo local em (1,0) com f(1,0)=-2.
Máximo local em (-1,0) com f(-1,0)=2.
Pontos de sela em (0,1) e em (0,-1).

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