Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os pontos críticos da função
e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso vamos usar derivadas parciais para achar os pontos em que o gradiente se anula e depois empregar o critério da matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
. Temos
e
Os pontos críticos satisfazem
Passo 3
Resolvendo o sistema
A interseção da circunferência
com
dá
e
. Com
dá
e
. Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar usamos a matriz Hessiana
com
O discriminante é
Passo 5
Avaliação em cada ponto crítico:
Em
:
logo é mínimo local com valor
Em
:
logo é máximo local com valor
Em
e
:
logo são pontos de sela.
Resposta
Mínimo local em
com
.
Máximo local em com
.
Pontos de sela em e em
.
Máximo local em
Pontos de sela em