Determine, se existirem, ou mostre que não existem, os seguintes limites:
\operatorname{Lim}_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{6 x^{3} y}{x^{4}+3 y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar — ou mostrar que não existe — o limite
\operatorname{Lim}_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{6x^{3}y}{x^{4}+3y^{4}}.
Informações importantes dadas:
  • A função em questão é f(x,y)=\dfrac{6x^{3}y}{x^{4}+3y^{4}}.
  • O ponto onde queremos o limite é (x,y)\to(0,0).
  • O denominador x^{4}+3y^{4} é zero apenas no ponto (0,0), então a expressão está bem definida em pontos próximos a (0,0) com (x,y)\neq(0,0).
  • A pergunta é se existe um número L tal que f(x,y)\to L quando (x,y)\to(0,0).

Passo 2

Estratégia para decidir se o limite existe (explicação didática):
  • Em limites de funções de duas variáveis, para o limite existir é necessário (e suficiente) que o valor da função tenda ao mesmo número ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho.
  • Uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que tendendo a (0,0) produzem limites diferentes. Se acharmos duas dessas, concluímos que o limite não existe.
  • Vou escolher caminhos simples e paramétricos para testar essa dependência: caminhos em que y é proporcional a x, isto é y=m x com m constante real. Esses caminhos são retas que passam pela origem.

Passo 3

Aplicando o caminho y=m x (onde m é uma constante real) e substituindo na expressão:
  • Numerador: 6x^{3}y = 6x^{3}(m x) = 6m x^{4}.
  • Denominador: x^{4}+3y^{4} = x^{4}+3(m x)^{4} = x^{4}+3m^{4}x^{4}.

Passo 4

Fatorando x^{4} no denominador e simplificando (mostro cada passo):
x^{4}+3m^{4}x^{4}=x^{4}\bigl(1+3m^{4}\bigr).
Para x\neq 0 (estamos aproximando, não avaliando exatamente em x=0) podemos dividir numerador e denominador por x^{4}. Assim a expressão para pontos sobre a reta y=mx (com x\neq0) fica
\frac{6m x^{4}}{x^{4}\bigl(1+3m^{4}\bigr)}=\frac{6m}{1+3m^{4}}.

Passo 5

Agora tiramos o limite quando x\to 0 ao longo dessa reta. A expressão obtida não depende de x, é uma constante em função de m. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{6x^{3}(m x)}{x^{4}+3(m x)^{4} }=\frac{6m}{1+3m^{4}}.
Isto significa que, aproximando-se por diferentes retas y=mx, o valor de f(x,y) tende a valores que dependem de m.

Passo 6

Mostro dois exemplos concretos para deixar claro que os limites ao longo de duas retas diferentes são distintos:
  • Se m=0 (a reta y=0), então
\frac{6m}{1+3m^{4}}=\frac{6\cdot 0}{1+3\cdot 0}=0.
  • Se m=1 (a reta y=x), então
\frac{6m}{1+3m^{4}}=\frac{6\cdot 1}{1+3\cdot 1}= \frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Como 0\neq \tfrac{3}{2}, temos duas aproximações ao mesmo ponto (0,0) que produzem limites diferentes.

Passo 7

Conclusão lógica (didática e direta): o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não pode existir porque já encontramos dois caminhos de aproximação (as retas y=0 e y=x) que fornecem limites diferentes. Portanto não existe um único número L que seja o limite ao longo de todos os caminhos.

Resposta

O limite não existe.

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