Determine, se existirem, ou mostre que não existem, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para determinar — ou mostrar que não existe — o limite
Informações importantes dadas:
- A função em questão é
. - O ponto onde queremos o limite é
. - O denominador
é zero apenas no ponto , então a expressão está bem definida em pontos próximos a com . - A pergunta é se existe um número
tal que quando .
Passo 2
Estratégia para decidir se o limite existe (explicação didática):
- Em limites de funções de duas variáveis, para o limite existir é necessário (e suficiente) que o valor da função tenda ao mesmo número ao nos aproximarmos de
por qualquer caminho. - Uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que tendendo a
produzem limites diferentes. Se acharmos duas dessas, concluímos que o limite não existe. - Vou escolher caminhos simples e paramétricos para testar essa dependência: caminhos em que
é proporcional a , isto é com constante real. Esses caminhos são retas que passam pela origem.
Passo 3
Aplicando o caminho
(onde
é uma constante real) e substituindo na expressão:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Passo 4
Fatorando
no denominador e simplificando (mostro cada passo):
Para
(estamos aproximando, não avaliando exatamente em
) podemos dividir numerador e denominador por
. Assim a expressão para pontos sobre a reta
(com
) fica
Passo 5
Agora tiramos o limite quando
ao longo dessa reta. A expressão obtida não depende de
, é uma constante em função de
. Logo
Isto significa que, aproximando-se por diferentes retas
, o valor de
tende a valores que dependem de
.
Passo 6
Mostro dois exemplos concretos para deixar claro que os limites ao longo de duas retas diferentes são distintos:
- Se
(a reta ), então
- Se
(a reta ), então
Como
, temos duas aproximações ao mesmo ponto
que produzem limites diferentes.
Passo 7
Conclusão lógica (didática e direta): o limite de
quando
não pode existir porque já encontramos dois caminhos de aproximação (as retas
e
) que fornecem limites diferentes. Portanto não existe um único número
que seja o limite ao longo de todos os caminhos.
Resposta
O limite não existe.