Justificando sua resposta, afirme sobre a convergência ou divergência das séries seguintes (informe sempre o nome do teste e/ou da sequência utilizada como referência). \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{7 k^{3}+1}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{7 k^{3}+1}
e pede que eu afirme se ela converge ou diverge, justificando a resposta e indicando o teste (ou sequência) usado como referência. Observações imediatas extraídas do enunciado: os termos gerais \frac{1}{7k^{3}+1} são positivos para todo k\ge 1.
Passo 2
Apresento um resultado que será referência: a série p\)-série
\[\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Explicando por que (usando o Teste da Integral, que é uma ferramenta básica e intuitiva): considere a função f(x)=x^{-p} positiva e decrescente para x\ge1. Então
Se p>1\] então \(1-p<0 e x^{1-p}\to 0 quando x\to\infty, logo a integral é finita; se p\le1 a integral diverge. Pelo Teste da Integral, a convergência da integral equivalente dá a convergência da série p-série, e assim concluímos a regra: p-série converge exatamente para p>1. Aqui nos interessa o caso p=3, que satisfaz 3>1, portanto
\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{3}}
converge.]
Passo 3
Vou usar o Teste da Comparação Direta (um teste muito simples e útil): se 0\le a_k\le b_k para todos k a partir de algum índice e se \sum b_k converge, então \sum a_k também converge. Aplicando isso à nossa série, comparo o termo geral
a_k=\frac{1}{7k^{3}+1}
com
b_k=\frac{1}{k^{3}}.
Note que, para todo k\ge1,
7k^{3}+1 \ge 7k^{3}.
Tomando recíprocos (mantendo desigualdade no sentido correto porque todos os termos são positivos), obtemos
Assim 0\le a_k \le \dfrac{1}{7}b_k. Como \sum b_k=\sum 1/k^{3} converge (é uma p-série com p=3>1), a série \sum \dfrac{1}{7}b_k também converge (multiplicar uma série convergente por constante \frac{1}{7} preserva convergência). Portanto, pelo Teste da Comparação Direta, a série \sum a_k=\sum \dfrac{1}{7k^{3}+1} converge.
Passo 4
(Passo extra — alternativa) Como verificação alternativa, poderíamos usar o Teste da Comparação pelo Limite (Limit Comparison Test). Calculamos
um limite finito e estritamente positivo; pelo Teste da Comparação pelo Limite, \sum \dfrac{1}{7k^{3}+1} tem o mesmo comportamento (convergência/divergência) que \sum \dfrac{1}{k^{3}}. Como \sum 1/k^{3} converge, nossa série converge. Esse cálculo confirma a conclusão do Passo 3.
Resposta
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{7 k^{3}+1} converge (por comparação direta com a p-série \sum 1/k^{3}, p=3>1; alternativamente, pelo teste da comparação pelo limite, o limite é 1/7).