Encontre a série cuja sequência das somas parciais
é igual a
. Em seguida, justificando sua resposta, afirme sobre sua convergência ou divergência
Passo 1
O enunciado dá a sequência das somas parciais
de uma série e pede duas coisas:
- Encontrar a série — isto é, encontrar os termos
tal que a soma parcial seja igual a . - Justificar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes dadas:
- Para todo
natural (assumimos ), . - Convenção usual:
(a soma de zero termos é zero).
Passo 2
Conceito importante (rápido e essencial): se
são as somas parciais de uma série, então os termos
da série são dados por
para
, com a convenção
. Vou usar isso para calcular explicitamente cada termo
. Isso vem direto da definição: soma parcial até
menos soma parcial até
deixa só o
-ésimo termo.
Passo 3
Calcule
usando
:
Passo 4
Agora calcule
para
usando a fórmula
. Substituindo
e
:
As constantes
se cancelam, então
Passo 5
Simplifico essa expressão passo a passo. Primeiro fatoro
(porque
):
Coloco na mesma fração:
Portanto
Essa fórmula vale para todo
. Podemos também escrever de forma equivalente, destacando o sinal:
Passo 6
Resumo prático dos termos da série:
-
. - Para
,
Um jeito intuitivo de ver a origem é notar que se definirmos
então
para
; isso reflete que
. Essa forma é útil: os
aparecem como diferenças consecutivas de
(tipo “telescópico” nas fórmulas), mas atenção:
cresce muito rápido.
Passo 7
Agora vamos analisar convergência. Lembrete teórico breve e essencial: uma série converge se, e somente se, a sequência das suas somas parciais
converge para um número finito. Aqui temos explicitamente
Observe que
cresce exponencialmente com
enquanto
cresce apenas linearmente; portanto a razão
tende a
quando
. Ou seja,
Logo
Como as somas parciais não tendem a um número finito, a série diverge (mais precisamente, as somas parciais divergem para
).
Passo 8
Complemento pedagógico rápido: outra verificação simples é olhar os termos
. Para uma série convergir, necessariamente
. Mas neste caso, usando a expressão obtida para
, para
grande temos, aproximadamente,
que em módulo cresce muito rápido (vai para
em valor absoluto). Assim os termos não só não tendem a zero, como crescem em magnitude, o que confirma fortemente que a série não pode convergir.
Resposta
A série tem termos
e, para
,
A série diverge (as somas parciais
tendem a
).