Encontre a série cuja sequência das somas parciais \left\{S_{n}\right\} é igual a \left\{1-\frac{2^{n}}{n}\right\}. Em seguida, justificando sua resposta, afirme sobre sua convergência ou divergência

Passo 1

O enunciado dá a sequência das somas parciais \{S_n\} de uma série e pede duas coisas:
  1. Encontrar a série — isto é, encontrar os termos a_n tal que a soma parcial S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k seja igual a \displaystyle S_n = 1 - \frac{2^{n}}{n}.
  2. Justificar se essa série converge ou diverge.
Informações relevantes dadas:
  • Para todo n natural (assumimos n\ge 1), \displaystyle S_n = 1 - \frac{2^{n}}{n}.
  • Convenção usual: S_0 = 0 (a soma de zero termos é zero).

Passo 2

Conceito importante (rápido e essencial): se S_n são as somas parciais de uma série, então os termos a_n da série são dados por
a_n = S_n - S_{n-1},
para n\ge 1, com a convenção S_0=0. Vou usar isso para calcular explicitamente cada termo a_n. Isso vem direto da definição: soma parcial até n menos soma parcial até n-1 deixa só o n-ésimo termo.

Passo 3

Calcule a_1 usando S_0=0:
a_1 = S_1 - S_0 = S_1 = 1 - \frac{2^{1}}{1} = 1 - 2 = -1.

Passo 4

Agora calcule a_n para n\ge 2 usando a fórmula a_n = S_n - S_{n-1}. Substituindo S_n e S_{n-1}:
a_n = \left(1 - \frac{2^{n}}{n}\right) - \left(1 - \frac{2^{\,n-1}}{\,n-1}\right).
As constantes 1 se cancelam, então
a_n = -\frac{2^{n}}{n} + \frac{2^{\,n-1}}{\,n-1}.

Passo 5

Simplifico essa expressão passo a passo. Primeiro fatoro 2^{\,n-1} (porque 2^n = 2\cdot 2^{n-1}):
a_n = 2^{\,n-1}\left(-\frac{2}{n} + \frac{1}{\,n-1}\right).
Coloco na mesma fração:
-\frac{2}{n} + \frac{1}{n-1} = \frac{-(2)(n-1) + n}{n(n-1)} = \frac{-2n + 2 + n}{n(n-1)} = \frac{2 - n}{n(n-1)}.
Portanto
a_n = 2^{\,n-1}\cdot\frac{2 - n}{n(n-1)}.
Essa fórmula vale para todo n\ge 2. Podemos também escrever de forma equivalente, destacando o sinal:
a_n = -\,2^{\,n-1}\cdot\frac{n-2}{n(n-1)},\qquad n\ge 2.

Passo 6

Resumo prático dos termos da série:
  • a_1 = -1.
  • Para n\ge 2,
a_n = -\,2^{\,n-1}\cdot\frac{n-2}{n(n-1)} \quad\text{(ou)}\quad a_n = \frac{2^{\,n-1}}{\,n-1} - \frac{2^{n}}{n}.
Um jeito intuitivo de ver a origem é notar que se definirmos b_n=\dfrac{2^n}{n} então a_n=b_{n-1}-b_n para n\ge2; isso reflete que S_n=1-b_n. Essa forma é útil: os a_n aparecem como diferenças consecutivas de b_n (tipo “telescópico” nas fórmulas), mas atenção: b_n cresce muito rápido.

Passo 7

Agora vamos analisar convergência. Lembrete teórico breve e essencial: uma série converge se, e somente se, a sequência das suas somas parciais S_n converge para um número finito. Aqui temos explicitamente
S_n = 1 - \frac{2^{n}}{n}.
Observe que 2^{n} cresce exponencialmente com n enquanto n cresce apenas linearmente; portanto a razão \dfrac{2^{n}}{n} tende a +\infty quando n\to\infty. Ou seja,
\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{n} = +\infty.
Logo
\lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{2^{n}}{n}\right) = 1 - (+\infty) = -\infty.
Como as somas parciais não tendem a um número finito, a série diverge (mais precisamente, as somas parciais divergem para -\infty).

Passo 8

Complemento pedagógico rápido: outra verificação simples é olhar os termos a_n. Para uma série convergir, necessariamente a_n\to 0. Mas neste caso, usando a expressão obtida para a_n, para n grande temos, aproximadamente,
a_n \sim -\frac{2^{n-1}}{n},
que em módulo cresce muito rápido (vai para -\infty em valor absoluto). Assim os termos não só não tendem a zero, como crescem em magnitude, o que confirma fortemente que a série não pode convergir.

Resposta

A série tem termos
a_1 = -1 e, para n\ge 2,
a_n = \frac{2^{\,n-1}}{\,n-1} - \frac{2^{n}}{n} = -\,2^{\,n-1}\cdot\frac{n-2}{n(n-1)}.
A série diverge (as somas parciais S_n=1-\dfrac{2^n}{n} tendem a -\infty).

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