Determine a expansão de cossenos e a expansão de senos em meia escala da função:
Passo 1
O enunciado pede as séries de cossenos e de senos em meia-onda de
ou seja, para
devemos achar
- a expansão em cossenos, correspondente à extensão par de
em , - a expansão em senos, correspondente à extensão ímpar de
em .
Para isso usamos as fórmulas
Passo 2
Cálculo dos coeficientes
.
a) Primeiro
b) Para
, escrevemos
Com integração por partes obtém-se
e mostra-se que
Logo
se
for ímpar. Para
:
levam a
Portanto
Isto anula todos os
pares e, para
ímpar,
. Assim só restam os termos
e
para todo outro
.
Passo 3
Montagem da série de cossenos. Como
e só aparecem termos
,
Passo 4
Cálculo dos coeficientes
.
Análogo ao caso dos cossenos, define-se
com
levando a
Dessa forma
para
par, e, para
ímpar, com
e
, obtém-se
Passo 5
Montagem da série de senos. Como só há termos ímpares
Resposta
Séries de meia-onda de
em
:
(a) Expansão em cossenos (extensão par):
(b) Expansão em senos (extensão ímpar):