Determine a expansão de cossenos e a expansão de senos em meia escala da função:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0<x<\frac{\pi}{2} \\\ \pi-x, & \frac{\pi}{2} \leq x<\pi\end{array} \quad\right.

Passo 1

O enunciado pede as séries de cossenos e de senos em meia-onda de
f(x)=\begin{cases} x,&0<x<\frac{\pi}{2},\\\ \pi-x,&\frac{\pi}{2}\le x<\pi, \end{cases}
ou seja, para x\in(0,\pi) devemos achar
  1. a expansão em cossenos, correspondente à extensão par de f em [-\,\pi,\pi],
  2. a expansão em senos, correspondente à extensão ímpar de f em [-\,\pi,\pi].
Para isso usamos as fórmulas
\text{(cos)}\quad f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx), \quad a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx)\,dx,
\text{(sen)}\quad f(x)\sim \sum_{n=1}^\infty b_n\sin(nx), \quad b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Cálculo dos coeficientes a_n.
a) Primeiro
a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\,dx =\frac{2}{\pi}\Bigl(\int_0^{\pi/2}x\,dx+\int_{\pi/2}^\pi(\pi-x)\,dx\Bigr) =\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{4} =\frac{\pi}{2}.
b) Para n\ge1, escrevemos
\int_0^\pi f(x)\cos(nx)\,dx =\int_0^{\pi/2}x\cos(nx)\,dx +\int_{\pi/2}^\pi(\pi-x)\cos(nx)\,dx =I_1+I_2.
Com integração por partes obtém-se
I_1 =\int_0^{\pi/2}x\cos(nx)\,dx =\frac{\pi}{2}\frac{\sin\!\bigl(n\pi/2\bigr)}{n} -\frac{1}{n^2}\Bigl(1-\cos\!\bigl(n\pi/2\bigr)\Bigr),
e mostra-se que
I_2=(-1)^n\,I_1, \qquad I_1+I_2=\bigl(1+(-1)^n\bigr)I_1.
Logo a_n=0 se n for ímpar. Para n=2m:
1+(-1)^{2m}=2,\quad \sin(m\pi)=0,\quad \cos(m\pi)=(-1)^m
levam a
\int_0^\pi f(x)\cos(2m x)\,dx =2\Bigl[-\frac{1}{(2m)^2}\bigl(1-(-1)^m\bigr)\Bigr] =-\frac{1}{2m^2}\bigl(1-(-1)^m\bigr).
Portanto
a_{2m} =\frac{2}{\pi}\,\Bigl(-\frac{1}{2m^2}\bigl(1-(-1)^m\bigr)\Bigr) =-\frac{1}{\pi m^2}\bigl(1-(-1)^m\bigr).
Isto anula todos os m pares e, para m=2k-1 ímpar, 1-(-1)^m=2. Assim só restam os termos
a_{4k-2}=-\frac{2}{\pi(2k-1)^2}, \quad k=1,2,3,\dots
e a_n=0 para todo outro n.

Passo 3

Montagem da série de cossenos. Como a_0/2=\pi/4 e só aparecem termos n=4k-2,
f(x) =\frac{\pi}{4} -\sum_{k=1}^\infty\frac{2}{\pi(2k-1)^2}\,\cos\bigl((4k-2)x\bigr).

Passo 4

Cálculo dos coeficientes b_n.
Análogo ao caso dos cossenos, define-se
b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}(J_1+J_2),
com
J_1=\int_0^{\pi/2}x\sin(nx)\,dx, \quad J_2=\int_{\pi/2}^{\pi}(\pi-x)\sin(nx)\,dx =(-1)^{n+1}J_1,
levando a
J_1 =-\frac{\pi}{2}\,\frac{\cos\!\bigl(n\pi/2\bigr)}{n} +\frac{1}{n^2}\sin\!\bigl(n\pi/2\bigr),
J_1+J_2 =\bigl(1+(-1)^{n+1}\bigr)J_1 =\bigl(1-(-1)^n\bigr)J_1.
Dessa forma b_n=0 para n par, e, para n=2m-1 ímpar, com \cos((2m-1)\pi/2)=0 e
\sin((2m-1)\pi/2)=(-1)^{m-1}, obtém-se
b_{2m-1} =\frac{2}{\pi}\,2\,\frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)^2} =\frac{4(-1)^{m-1}}{\pi(2m-1)^2}.

Passo 5

Montagem da série de senos. Como só há termos ímpares
f(x) =\sum_{m=1}^\infty b_{2m-1}\,\sin\bigl((2m-1)x\bigr) =\frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^\infty\frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)^2}\, \sin\bigl((2m-1)x\bigr).

Resposta

Séries de meia-onda de f em (0,\pi):
(a) Expansão em cossenos (extensão par):
\boxed{ f(x) =\frac{\pi}{4} -\sum_{k=1}^\infty\frac{2}{\pi(2k-1)^2}\, \cos\bigl((4k-2)x\bigr). }
(b) Expansão em senos (extensão ímpar):
\boxed{ f(x) =\frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)^2}\, \sin\bigl((2m-1)x\bigr). }

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