Inverta a ordem e calcule a integral
\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \int_{|y|}^{\sqrt{1-y^{2}}} \sqrt{1-x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla
\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\int_{\lvert y\rvert}^{\sqrt{1-y^{2}}}\sqrt{1-x^{2}}\,dx\,dy
O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e cálculo de integrais elementares de funções do tipo \sqrt{1-x^{2}}.

Passo 2

Vamos descrever geometricamente a região D no plano xy:
y varia de -\tfrac{1}{\sqrt{2}} até \tfrac{1}{\sqrt{2}}.
– Para cada y, x vai de \lvert y\rvert até \sqrt{1-y^{2}}.
Isto é a parte do círculo unitário x^{2}+y^{2}\le1 que fica à direita da bissetriz x=\lvert y\rvert, com \lvert y\rvert\le1/\sqrt2.

Passo 3

Para inverter, observamos que x vai de 0 até 1. Mas o limite de y depende de x via
\lvert y\rvert \le x \quad\text{e}\quad \lvert y\rvert \le \sqrt{1-x^{2}}.
Como \min(x,\sqrt{1-x^{2}}) muda em x=1/\sqrt2, quebramos em
0\le x\le \tfrac{1}{\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad \lvert y\rvert\le x,
\tfrac{1}{\sqrt2}\le x\le1 \quad\Longrightarrow\quad \lvert y\rvert\le \sqrt{1-x^{2}}.
Logo a integral vira
I = \int_{0}^{\frac{1}{\sqrt2}}\Bigl[\int_{-x}^{x}dy\Bigr]\sqrt{1-x^{2}}\,dx + \int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}\Bigl[\int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}dy\Bigr]\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

Passo 4

Calculamos as integrais internas em y:
\int_{-x}^{x}dy = 2x, \quad \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}dy = 2\sqrt{1-x^{2}}.
Então
I = 2\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt2}}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx + 2\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}(1-x^{2})\,dx.

Passo 5

Para a primeira parte, use u=1-x^{2}, du=-2x\,dx:
\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx = -\tfrac{1}{3}(1-x^{2})^{3/2},
portanto
2\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt2}}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx = -\tfrac{2}{3}\Bigl[(1-x^{2})^{3/2}\Bigr]_{0}^{\frac{1}{\sqrt2}} = \;2/3 \;-\;1/(3\sqrt2).

Passo 6

Para a segunda parte,
2\int_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1}(1-x^{2})\,dx = 2\Bigl[x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{\frac{1}{\sqrt2}}^{1} = 4/3 \;-\;5/(3\sqrt2).

Passo 7

Somando as duas parcelas:
I = \bigl(2/3 - 1/(3\sqrt2)\bigr) + \bigl(4/3 - 5/(3\sqrt2)\bigr) = 2 \;-\;\sqrt{2}.

Resposta

2 - \sqrt{2}

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