Inverta a ordem e calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla
O conteúdo é mudança de ordem em integrais duplas e cálculo de integrais elementares de funções do tipo
.
Passo 2
Vamos descrever geometricamente a região
no plano
:
– varia de
até
.
– Para cada ,
vai de
até
.
Isto é a parte do círculo unitário que fica à direita da bissetriz
, com
.
–
– Para cada
Isto é a parte do círculo unitário
Passo 3
Para inverter, observamos que
vai de
até
. Mas o limite de
depende de
via
Como
muda em
, quebramos em
Logo a integral vira
Passo 4
Calculamos as integrais internas em
:
Então
Passo 5
Para a primeira parte, use
,
:
portanto
Passo 6
Para a segunda parte,
Passo 7
Somando as duas parcelas: