Seja D a região interna à uma pétala de r=2 \cos (2 \theta) e externa à r=1. Esboce a região D no plano x y e calcule o valor médio da função f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} em D.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e trabalhar com a região D definida por
– estar dentro de uma pétala da curva polar
r = 2\cos(2\theta)
– estar fora do círculo
r = 1
e então calcular o valor médio da função
f(x,y)=\frac1{\sqrt{x^2+y^2}}\,.
O conteúdo principal é coordenadas polares, área de regiões polares e valor médio de uma função de duas variáveis usando
\bar f = \frac1{\text{Area}(D)}\iint_{D}f(x,y)\,dA.

Passo 2

Vamos determinar os limites em polares de D. A pétala de r=2\cos(2\theta) que intersecta o círculo r=1 ocorre onde
2\cos(2\theta)=1 \quad\Longrightarrow\quad \cos(2\theta)=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad 2\theta=\pm\frac{\pi}{3} \quad\Longrightarrow\quad \theta=\pm\frac{\pi}{6}.
Nessa pétala r\ge0 e \cos(2\theta)\ge0, mas como queremos também r\ge1, os limites são
-\frac{\pi}{6}\le\theta\le\frac{\pi}{6}, \qquad 1\le r\le 2\cos(2\theta).

Passo 3

Esboço de D no plano xy:
É o “cap” simétrico em torno do eixo x, para \theta entre -\pi/6 e \pi/6. Em cada direção \theta tomamos r de 1 até a curva que vai de r=2 (em \theta=0) diminuindo até r=1 em \theta=\pm\pi/6.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \iint_{D}f\,dA. Em coordenadas polares f=1/r e dA=r\,dr\,d\theta, então
\iint_{D}\frac1r\,dA =\int_{\theta=-\pi/6}^{\pi/6}\int_{r=1}^{2\cos(2\theta)} \frac1r\;(r\,dr\,d\theta) =\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\int_{1}^{2\cos(2\theta)}dr\,d\theta.
A integral em r
\int_{1}^{2\cos(2\theta)}dr =2\cos(2\theta)-1,
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\iint_{D}f\,dA =\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\bigl(2\cos(2\theta)-1\bigr)\,d\theta =2\Bigl[\sin(2\theta)-\theta\Bigr]_{0}^{\pi/6} =\sqrt{3}-\frac{\pi}{3}.

Passo 5

Cálculo da área de D:
\text{Area}(D) =\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\int_{1}^{2\cos(2\theta)}r\,dr\,d\theta =\frac12\!\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\bigl((2\cos2\theta)^2-1\bigr)\,d\theta.
Desenvolvendo e integrando dá
\text{Area}(D) =\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 6

Valor médio de f em D é
\bar f =\frac{1}{\text{Area}(D)}\iint_{D}f\,dA =\frac{\sqrt{3}-\tfrac{\pi}{3}} {\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{\sqrt{3}}{4}} =\frac{4\bigl(3\sqrt{3}-\pi\bigr)}{2\pi+3\sqrt{3}}.

Resposta

\bar f =\frac{4\bigl(3\sqrt{3}-\pi\bigr)}{2\pi+3\sqrt{3}}.

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