Seja
a região interna à uma pétala de
e externa à
. Esboce a região
no plano
e calcule o valor médio da função
em
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar e trabalhar com a região
definida por
– estar dentro de uma pétala da curva polar
– estar dentro de uma pétala da curva polar
– estar fora do círculo
e então calcular o valor médio da função
O conteúdo principal é coordenadas polares, área de regiões polares e valor médio de uma função de duas variáveis usando
Passo 2
Vamos determinar os limites em polares de
. A pétala de
que intersecta o círculo
ocorre onde
Nessa pétala
e
, mas como queremos também
, os limites são
Passo 3
Esboço de
no plano
:
É o “cap” simétrico em torno do eixo , para
entre
e
. Em cada direção
tomamos
de
até a curva que vai de
(em
) diminuindo até
em
.
É o “cap” simétrico em torno do eixo
Passo 4
Cálculo de
. Em coordenadas polares
e
, então
A integral em
dá
logo
Passo 5
Cálculo da área de
:
Desenvolvendo e integrando dá
Passo 6
Valor médio de
em
é