Projetar controlador PD ideal para G(s) que forneça, em malha fechada, um coeficiente de amortecimento igual a 0,5 e uma frequência natural não amortecida de 2 rad / s :
G(s)=1s(s+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Projeto de Controlador PD. A missão é projetar um controlador PD ideal para a função de transferência . O objetivo é que, com esse controlador, o sistema em malha fechada tenha um coeficiente de amortecimento ( ) igual a 0,5 e uma frequência natural não amortecida ( ) de 2 rad/s. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona um controlador PD e como ele afeta as características do sistema em malha fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um controlador PD. PD significa Proporcional-Derivativo, e sua função de transferência é geralmente escrita como:
C(s) = Kp + Kd s
Aqui, é o ganho proporcional e é o ganho derivativo. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que vão ajustar o sistema para as características desejadas.

Passo 3

Agora, vamos montar a função de transferência em malha fechada do sistema controlado. A fórmula geral para a malha fechada é:
T(s) = C(s) G(s)1 + C(s) G(s)
Substituindo T(s) = (Kp + Kd s) cdot 1s(s+1)1 + (Kp + Kd s) cdot 1s(s+1) e :
Vamos simplificar essa expressão para encontrar a equação característica do sistema.

Passo 4

Simplificando a expressão acima:
1 + (Kp + Kd s) cdot 1s(s+1) = 0
Multiplicando todos os termos por s(s+1) + Kp + Kd s = 0 para eliminar o denominador:
s^2 + s + Kp + Kd s = 0
Expandindo s^2 + (1 + Kd) s + Kp = 0 :
Agrupando os termos semelhantes:
Essa é a equação característica do sistema em malha fechada.

Passo 5

Queremos que a equação característica do nosso sistema em malha fechada seja igual à da forma padrão de um sistema de segunda ordem:
s^2 + 2 zeta omegan s + omegan^2 = 0
Comparando com a nossa equação característica:
s^2 + (1 + Kd) s + Kp = 0
Podemos igualar os coeficientes correspondentes:
2 zeta omegan = 1 + Kd
omegan^2 = Kp

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores desejados de 2 times 0,5 times 2 = 1 + Kd e (2)^2 = Kp :
2 = 1 + Kd Rightarrow Kd = 2 - 1 = 1
4 = Kp
Calculando:

Resposta

Ent��o, o controlador PD ideal que atende aos requisitos é:
C(s) = 4 + 1 cdot s = 4 + s

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