Projetar controlador PD ideal para
que forneça, em malha fechada, um coeficiente de amortecimento igual a 0,5 e uma frequência natural não amortecida de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Projeto de Controlador PD. A missão é projetar um controlador PD ideal para a função de transferência
. O objetivo é que, com esse controlador, o sistema em malha fechada tenha um coeficiente de amortecimento (
) igual a 0,5 e uma frequência natural não amortecida (
) de 2 rad/s. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona um controlador PD e como ele afeta as características do sistema em malha fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um controlador PD. PD significa Proporcional-Derivativo, e sua função de transferência é geralmente escrita como:
Aqui,
é o ganho proporcional e
é o ganho derivativo. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que vão ajustar o sistema para as características desejadas.
Passo 3
Agora, vamos montar a função de transferência em malha fechada do sistema controlado. A fórmula geral para a malha fechada é:
Substituindo
e
:
Vamos simplificar essa expressão para encontrar a equação característica do sistema.
Passo 4
Simplificando a expressão acima:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar o denominador:
Expandindo
:
Agrupando os termos semelhantes:
Essa é a equação característica do sistema em malha fechada.
Passo 5
Queremos que a equação característica do nosso sistema em malha fechada seja igual à da forma padrão de um sistema de segunda ordem:
Comparando com a nossa equação característica:
Podemos igualar os coeficientes correspondentes:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores desejados de
e
:
Calculando:
Resposta
Ent��o, o controlador PD ideal que atende aos requisitos é: