Escreva a equação que rege a dinâmica de um pêndulo simples sujeito à resistência do ar proporcional à velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a equação que descreve a dinâmica de um pêndulo simples que está sujeito à resistência do ar, que é proporcional à velocidade. Isso envolve conceitos de dinâmica dos pêndulos e forças de resistência. Para resolver, vamos precisar entender como a gravidade e a resistência do ar afetam o movimento do pêndulo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as forças que atuam no pêndulo. Temos:
- Força da gravidade: Essa força puxa o pêndulo em direção ao ponto de equilíbrio.
- Força de resistência do ar: Essa força age contra o movimento do pêndulo e é proporcional à sua velocidade.
Passo 3
Vamos usar a segunda lei de Newton para rotação, que nos diz que o torque resultante é igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular:
Onde:
-
é o torque total -
é o momento de inércia -
é a aceleração angular
Passo 4
Para um pêndulo simples, o momento de inércia
é:
Onde:
-
é a massa do pêndulo -
é o comprimento do fio
A aceleração angular
é a segunda derivada do ângulo
em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, vamos considerar os torques:
- Torque da gravidade:
(O sinal negativo indica que a força da gravidade age para trazer o pêndulo de volta ao equilíbrio) - Torque da resistência do ar:
(Aqui,é a constante de proporcionalidade da resistência do ar, e o sinal negativo mostra que a resistência atua contra o movimento)
Passo 6
Somando os torques, temos:
Passo 7
Dividindo todos os termos por
para simplificar a equação:
Simplificando:
Passo 8
Rearranjando os termos para deixar a equação mais clara:
Resposta
A equação que rege a dinâmica de um pêndulo simples sujeito à resistência do ar proporcional à velocidade é: