Escreva a equação que rege a dinâmica de um pêndulo simples sujeito à resistência do ar proporcional à velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a equação que descreve a dinâmica de um pêndulo simples que está sujeito à resistência do ar, que é proporcional à velocidade. Isso envolve conceitos de dinâmica dos pêndulos e forças de resistência. Para resolver, vamos precisar entender como a gravidade e a resistência do ar afetam o movimento do pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as forças que atuam no pêndulo. Temos:
  1. Força da gravidade: Essa força puxa o pêndulo em direção ao ponto de equilíbrio.
  2. Força de resistência do ar: Essa força age contra o movimento do pêndulo e é proporcional à sua velocidade.

Passo 3

Vamos usar a segunda lei de Newton para rotação, que nos diz que o torque resultante é igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular:
tauresu
Onde:
  • é o torque total
  • é o momento de inércia
  • é a aceleração angular

Passo 4

Para um pêndulo simples, o momento de inércia I = m L^2 é:
alpha = d^2 thetadt^2
Onde:
  • é a massa do pêndulo
  • é o comprimento do fio
A aceleração angular é a segunda derivada do ângulo em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, vamos considerar os torques:
  1. Torque da gravidade:
    (O sinal negativo indica que a força da gravidade age para trazer o pêndulo de volta ao equilíbrio)
  2. Torque da resistência do ar:
    (Aqui, é a constante de proporcionalidade da resistência do ar, e o sinal negativo mostra que a resistência atua contra o movimento)

Passo 6

Somando os torques, temos:
tauresu
-m g L sin(theta) - b dthetadt = m L^2 d^2 thetadt^2

Passo 7

Dividindo todos os termos por -m g L sin(theta)m L^2 - b dthetadtm L^2 = d^2 thetadt^2 para simplificar a equação:
-gL sin(theta) - bm L^2 dthetadt = d^2 thetadt^2
Simplificando:

Passo 8

Rearranjando os termos para deixar a equação mais clara:
d^2 thetadt^2 + bm L^2 dthetadt + gL sin(theta) = 0

Resposta

A equação que rege a dinâmica de um pêndulo simples sujeito à resistência do ar proporcional à velocidade é:
d^2 thetadt^2 + bm L^2 dthetadt + gL sin(theta) = 0

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