Determine a expansão em série de Fourier das funções a seguir:
f(x) a função de período 6 satisfazendo
f(x)=\left\{ \begin{array}{cc} 0, & -3 \leqslant x<-1 \\\\ 1, & -1 \leqslant x \leqslant 1 \\\\ 0, & 1<x \leqslant 3 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)\) periódica de período \(6\), definida em \([-3,3]\) por \[f(x)= \begin{cases} 0, & -3 \le x < -1,\\\\ 1, & -1 \le x \le 1,\\\\ 0, & 1 < x \le 3, \end{cases}
e pede sua série de Fourier. Vamos usar a fórmula para uma função de período 2L=6\] (logo \(L=3), isto é,
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(a_{n}\cos\bigl(n\pi x/3\bigr)+b_{n}\sin\bigl(n\pi x/3\bigr)\Bigr),
com
a_{n}=\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\cos\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx, \quad b_{n}=\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx,
e
a_{0}=\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\,dx.

Passo 2

Calculamos primeiro o coeficiente a_{0}. Como f(x)=1 só em [-1,1] e zero fora,
a_{0} =\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\,dx =\frac{1}{3}\int_{-1}^{1}1\,dx =\frac{1}{3}\bigl[\,x\,\bigr]_{-1}^{1} =\frac{2}{3}.

Passo 3

Observe que f é função par (pois o “pulso” em [-1,1] é simétrico) e, portanto,
b_{n} =\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx =0 \quad\forall n\ge1.

Passo 4

Para a_{n}, usando a paridade de f reduzimos a integral a [0,1]:
a_{n} =\frac{1}{3}\int_{-3}^{3}f(x)\cos\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx =\frac{2}{3}\int_{0}^{1}\cos\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx.
Agora
\int_{0}^{1}\cos\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\,dx =\left[\frac{3}{n\pi}\sin\!\bigl(n\pi x/3\bigr)\right]_{0}^{1} =\frac{3}{n\pi}\sin\!\bigl(n\pi/3\bigr).
Logo
a_{n} =\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{n\pi}\sin\!\bigl(n\pi/3\bigr) =\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(n\pi/3\bigr).

Resposta

Portanto, a expansão em série de Fourier de f(x) é
\boxed{ f(x) =\frac{a_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\!\bigl(n\pi x/3\bigr) } \quad\text{com}\quad a_{0}=\frac{2}{3}, \quad a_{n}=\frac{2}{n\pi}\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{3}\Bigr), \quad b_{n}=0.
Em outras palavras,
\displaystyle f(x) =\frac{1}{3} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi}\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{3}\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\frac{n\pi x}{3}\Bigr).

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