Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de lambda para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\\ y^{\prime}(0)=0, y(\pi)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema é resolver a equação
y'' + \lambda\,y = 0
com as condições de contorno
y'(0)=0,\quad y(\pi)=0.
Queremos achar os valores de \lambda que geram soluções não triviais e essas próprias soluções.

Passo 2

Caso \lambda<0. Escrevemos \lambda=-\mu^2 com \mu>0. A equação fica
y'' - \mu^2 y = 0
e a solução geral é
y(x)=C\,e^{\mu x}+D\,e^{-\mu x}, \quad y'(x)=C\,\mu e^{\mu x}-D\,\mu e^{-\mu x}.
Impondo y'(0)=0 obtemos C\,\mu - D\,\mu=0, logo C=D. Então
y(x)=2C\operatorname{cosh}(\mu x).
A condição y(\pi)=0 C\operatorname{cosh}(\mu\pi)=0. Como \operatorname{cosh}(\mu\pi)>0, segue C=0 e só há solução trivial. Portanto não há solução não trivial para \lambda<0.

Passo 3

Caso \lambda=0. A equação é
y''=0
com solução geral
y(x)=A\,x + B, \quad y'(x)=A.
Da condição y'(0)=0 vem A=0, restando y(x)=B. Aí y(\pi)=B=0 obriga B=0. Logo só há solução trivial para \lambda=0.

Passo 4

Caso \lambda>0. Escrevemos \lambda=k^2 com k>0. A equação é
y'' + k^2 y = 0
e a solução geral
y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx), \quad y'(x)=-A\,k\sin(kx)+B\,k\cos(kx).
Impondo y'(0)=0 obtemos B\,k=0, logo B=0. Assim
y(x)=A\cos(kx).
A condição y(\pi)=0 exige \cos(k\pi)=0, ou seja
k\pi = \frac{(2n+1)\pi}{2}, \quad n=0,1,2,\dots
e daí
k_n = \frac{2n+1}{2}, \quad \lambda_n = k_n^2 = \frac{(2n+1)^2}{4}.

Passo 5

Concluímos que os valores de \lambda com solução não trivial são
\lambda_n = \frac{(2n+1)^2}{4},\quad n=0,1,2,\dots
e as correspondentes autofunções (até constante) são
y_n(x)=\cos\!\Bigl(\tfrac{2n+1}{2}\,x\Bigr).

Resposta

\displaystyle \lambda_n = \frac{(2n+1)^2}{4},\quad n=0,1,2,\dots,
com as soluções y_n(x)=\cos\bigl(\tfrac{2n+1}{2}x\bigr).

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