Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de
para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
Passo 1
O problema é resolver a equação
com as condições de contorno
Queremos achar os valores de
que geram soluções não triviais e essas próprias soluções.
Passo 2
Caso
. Escrevemos
com
. A equação fica
e a solução geral é
Impondo
obtemos
, logo
. Então
A condição
dá
. Como
, segue
e só há solução trivial. Portanto não há solução não trivial para
.
Passo 3
Caso
. A equação é
com solução geral
Da condição
vem
, restando
. Aí
obriga
. Logo só há solução trivial para
.
Passo 4
Caso
. Escrevemos
com
. A equação é
e a solução geral
Impondo
obtemos
, logo
. Assim
A condição
exige
, ou seja
e daí
Passo 5
Concluímos que os valores de
com solução não trivial são
e as correspondentes autofunções (até constante) são
Resposta
com as soluções
.