Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
?
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a expressão da terceira derivada, isto é,
.\n
Informações relevantes: a função é um múltiplo constante de uma exponencial de base . Queremos calcular a derivada de ordem três (derivar três vezes).
Informações relevantes: a função é um múltiplo constante de uma exponencial de base
Passo 2
Regra importante que vamos usar: a derivada da função exponencial de base positiva
é dada por
Explicação (por que isso vale): escrevemos
como uma exponencial natural,
Agora aplicamos a regra da cadeia (derivada de
é
). Aqui
, logo
. Portanto
Nesta fórmula
é o logaritmo natural de
e é uma constante quando
é fixo (como
no nosso caso).
Passo 3
Outra regra simples que usamos: se
com
constante, então
No nosso problema
e
. Ou seja, podemos puxar o factor
para fora das derivadas.
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada usando as regras anteriores. Partimos de
Aplicando a regra da constante multiplicativa e a fórmula da derivada da exponencial,
Aqui
é uma constante (aproximadamente
, mas não precisamos desse valor numérico para a prova).
Passo 5
Agora a segunda derivada: derivamos
. Como
e
são constantes, temos
Usando novamente
, obtemos
Observe o padrão: cada diferenciação de
traz um fator adicional
.
Passo 6
Terceira derivada: derivando
. As constantes são
e
, então
Aplicando
, resulta