Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=\frac{2^{x}}{3} \Rightarrow y^{\prime \prime \prime}= ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y=\frac{2^{x}}{3}
e pede a expressão da terceira derivada, isto é, y'''.\n
Informações relevantes: a função é um múltiplo constante de uma exponencial de base 2. Queremos calcular a derivada de ordem três (derivar três vezes).

Passo 2

Regra importante que vamos usar: a derivada da função exponencial de base positiva a é dada por
\frac{d}{dx}\big(a^{x}\big)=a^{x}\ln(a).
Explicação (por que isso vale): escrevemos a^{x} como uma exponencial natural,
a^{x}=e^{x\ln(a)}.
Agora aplicamos a regra da cadeia (derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}u'(x)). Aqui u(x)=x\ln(a), logo u'(x)=\ln(a). Portanto
\frac{d}{dx}\big(e^{x\ln(a)}\big)=e^{x\ln(a)}\cdot\ln(a)=a^{x}\ln(a).
Nesta fórmula \ln(a) é o logaritmo natural de a e é uma constante quando a é fixo (como a=2 no nosso caso).

Passo 3

Outra regra simples que usamos: se y=c\cdot f(x) com c constante, então
y'=c\cdot f'(x).
No nosso problema c=\tfrac{1}{3} e f(x)=2^{x}. Ou seja, podemos puxar o factor \tfrac{1}{3} para fora das derivadas.

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada usando as regras anteriores. Partimos de
y=\frac{1}{3}\,2^{x}.
Aplicando a regra da constante multiplicativa e a fórmula da derivada da exponencial,
y'=\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{dx}\big(2^{x}\big)=\frac{1}{3}\,2^{x}\ln(2).
Aqui \ln(2) é uma constante (aproximadamente 0,6931, mas não precisamos desse valor numérico para a prova).

Passo 5

Agora a segunda derivada: derivamos y'. Como \ln(2) e \tfrac{1}{3} são constantes, temos
y''=\frac{1}{3}\ln(2)\cdot\frac{d}{dx}\big(2^{x}\big).
Usando novamente \frac{d}{dx}(2^{x})=2^{x}\ln(2), obtemos
y''=\frac{1}{3}\ln(2)\cdot 2^{x}\ln(2)=\frac{1}{3}\,2^{x}\big(\ln(2)\big)^{2}.
Observe o padrão: cada diferenciação de 2^{x} traz um fator adicional \ln(2).

Passo 6

Terceira derivada: derivando y''=\frac{1}{3}\,2^{x}\big(\ln(2)\big)^{2}. As constantes são \tfrac{1}{3} e (\ln(2))^{2}, então
y'''=\frac{1}{3}\big(\ln(2)\big)^{2}\cdot\frac{d}{dx}\big(2^{x}\big).
Aplicando \frac{d}{dx}(2^{x})=2^{x}\ln(2), resulta
y'''=\frac{1}{3}\big(\ln(2)\big)^{2}\cdot 2^{x}\ln(2)=\frac{1}{3}\,2^{x}\big(\ln(2)\big)^{3}.

Resposta

y'''=\frac{1}{3}\,2^{x}\big(\ln(2)\big)^{3}

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