Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:” e nos dá a função
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é uma soma de três termos:
e . - Não há parâmetros desconhecidos; todos os termos são bem definidos para todo
.
A tarefa é calcular, a derivada de em função de .
Passo 2
Regra básica que vamos usar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Isso nos permite tratar cada termo separadamente: derivar
e
e depois somar os resultados.
Passo 3
Derivada do termo
: aplicamos a regra da potência. A regra diz que, para qualquer expoente real
,
Aqui
, portanto
Explicação simples: a potência “desce” como fator e reduz o expoente em uma unidade — isso é o conteúdo da regra da potência.
Passo 4
Derivada do termo
: isso é uma constante, porque
não depende de
. A regra para constantes é:
Portanto
Passo 5
Derivada do termo
: aqui usamos a formula para a derivada de uma função exponencial com base
. A maneira mais direta de justificar a fórmula é reescrever
como uma exponencial na base
:
No nosso caso
, então
Agora derivamos usando a regra da cadeia: se
, então
. Aqui
, cuja derivada é
(porque
é constante e a derivada de
é
). Assim:
Voltando para a base
,
logo
Resumo didático: a derivada de
é
; aqui
.
Passo 6
Agora somamos as derivadas de cada termo (pela linearidade da derivada, como no Passo 2). Temos:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 7
Podemos limpar a expressão (remover o zero). A expressão final para a derivada fica:
Se quiser, dá pra fatorar o
, mas não é necessário:
porém a forma mais direta e comum é a apresentada acima.