Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=3^{x}+x^{3}+3^{3}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:” e nos dá a função
y = 3^{x} + x^{3} + 3^{3}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é uma soma de três termos: \,3^{x}\,,\;x^{3}\, e \,3^{3}\,.
  • Não há parâmetros desconhecidos; todos os termos são bem definidos para todo x.
    A tarefa é calcular y', a derivada de y em função de x.

Passo 2

Regra básica que vamos usar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
y = u(x) + v(x) + w(x),
então
y' = u'(x) + v'(x) + w'(x).
Isso nos permite tratar cada termo separadamente: derivar \,3^{x}\,,\;x^{3}\, e \,3^{3}\, e depois somar os resultados.

Passo 3

Derivada do termo \,x^{3}\,: aplicamos a regra da potência. A regra diz que, para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr) = n\,x^{n-1}.
Aqui n=3, portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) = 3\,x^{2}.
Explicação simples: a potência “desce” como fator e reduz o expoente em uma unidade — isso é o conteúdo da regra da potência.

Passo 4

Derivada do termo \,3^{3}\,: isso é uma constante, porque \,3^{3}=27 não depende de x. A regra para constantes é:
\frac{d}{dx}(\text{constante}) = 0.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(3^{3}\bigr) = 0.

Passo 5

Derivada do termo \,3^{x}\,: aqui usamos a formula para a derivada de uma função exponencial com base a>0. A maneira mais direta de justificar a fórmula é reescrever a^{x} como uma exponencial na base e:
a^{x} = e^{x\ln a}.
No nosso caso a=3, então
3^{x} = e^{x\ln 3}.
Agora derivamos usando a regra da cadeia: se h(x)=e^{g(x)}, então h'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x). Aqui g(x)=x\ln 3, cuja derivada é g'(x)=\ln 3 (porque \ln 3 é constante e a derivada de x é 1). Assim:
\frac{d}{dx}\bigl(3^{x}\bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x\ln 3}\bigr) = e^{x\ln 3}\cdot \ln 3.
Voltando para a base 3,
e^{x\ln 3} = 3^{x},
logo
\frac{d}{dx}\bigl(3^{x}\bigr) = 3^{x}\,\ln 3.
Resumo didático: a derivada de a^{x} é a^{x}\ln a; aqui a=3.

Passo 6

Agora somamos as derivadas de cada termo (pela linearidade da derivada, como no Passo 2). Temos:
y' = \frac{d}{dx}\bigl(3^{x}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(3^{3}\bigr).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
y' = 3^{x}\ln 3 + 3\,x^{2} + 0.

Passo 7

Podemos limpar a expressão (remover o zero). A expressão final para a derivada fica:
y' = 3^{x}\ln 3 + 3\,x^{2}.
Se quiser, dá pra fatorar o 3, mas não é necessário:
y' = 3\bigl(3^{x-1}\ln 3 + x^{2}\bigr),
porém a forma mais direta e comum é a apresentada acima.

Resposta

y' = 3^{x}\ln 3 + 3x^{2}

Exercícios relacionados