Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido: a função dada é
. O pedido é: determinar a expressão da derivada
(ou
) dessa função. Dados relevantes: o numerador é
e o denominador é
. Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática curta): há duas maneiras naturais de proceder: (A) aplicar diretamente a regra do quociente, ou (B) primeiro simplificar a expressão fazendo divisão polinomial e depois derivar termo a termo. Vou usar o método (B) porque simplifica bastante as contas e evita muita álgebra durante a diferenciação; depois faço a verificação com a regra do quociente para garantir que deu certo. Não se preocupe — mostro ambos os caminhos passo a passo.
Passo 3
Fazer a divisão polinomial
para escrever a função como soma de termos simples. Fazemos a divisão de
por
:
- Dividendo:
. Divisor: . - O primeiro termo do quociente é
, porque . - Subtraindo:
. - Próximo termo do quociente é
, porque . - Subtraindo:
. Esse é o resto.
Portanto a divisão fornece
Logo podemos reescrever
Passo 4
Relembrando as regras de derivação que usaremos:
- Regra da soma/constante:
. A derivada de uma constante é . - Regra do poder (power rule):
para real. Em particular, . - Regra da cadeia aplicada a potências:
. Para e , temos , já que .
Passo 5
Derivando termo a termo a expressão
:
- Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é . - Para
, aplicamos a regra da cadeia e do poder: Como , isso vale
Somando os resultados:
Passo 6
Verificação rápida usando a regra do quociente (opcional, só para conferir):
Se
e
, então
e
. A regra do quociente diz
Calcule o numerador passo a passo:
portanto
Assim
Note que esta expressão é algebraicamente igual à anterior, porque
Logo ambas as formas coincidem — verificação concluída.