Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=\left(\frac{x^{2}+3 x}{x+1}\right)

Passo 1

Enunciado e o que é pedido: a função dada é \displaystyle y=\left(\frac{x^{2}+3 x}{x+1}\right). O pedido é: determinar a expressão da derivada \displaystyle y' (ou \displaystyle \frac{dy}{dx}) dessa função. Dados relevantes: o numerador é \displaystyle x^{2}+3x e o denominador é \displaystyle x+1. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta): há duas maneiras naturais de proceder: (A) aplicar diretamente a regra do quociente, ou (B) primeiro simplificar a expressão fazendo divisão polinomial e depois derivar termo a termo. Vou usar o método (B) porque simplifica bastante as contas e evita muita álgebra durante a diferenciação; depois faço a verificação com a regra do quociente para garantir que deu certo. Não se preocupe — mostro ambos os caminhos passo a passo.

Passo 3

Fazer a divisão polinomial \displaystyle \frac{x^{2}+3x}{x+1} para escrever a função como soma de termos simples. Fazemos a divisão de \displaystyle x^{2}+3x por \displaystyle x+1:
  • Dividendo: \displaystyle x^{2}+3x. Divisor: \displaystyle x+1.
  • O primeiro termo do quociente é \displaystyle x, porque \displaystyle x\cdot(x+1)=x^{2}+x.
  • Subtraindo: \displaystyle (x^{2}+3x)-(x^{2}+x)=2x.
  • Próximo termo do quociente é +2, porque 2\cdot(x+1)=2x+2.
  • Subtraindo: \displaystyle 2x-(2x+2)=-2. Esse é o resto.
Portanto a divisão fornece
\frac{x^{2}+3x}{x+1}=x+2+\frac{-2}{x+1}=x+2-\frac{2}{x+1}.
Logo podemos reescrever
\displaystyle y = x+2-\frac{2}{x+1}.

Passo 4

Relembrando as regras de derivação que usaremos:
  • Regra da soma/constante: \displaystyle \frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x). A derivada de uma constante é 0.
  • Regra do poder (power rule): \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1} para n real. Em particular, \displaystyle \frac{d}{dx}(x)=1.
  • Regra da cadeia aplicada a potências: \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl((u(x))^{m}\bigr)=m\,(u(x))^{m-1}\,u'(x). Para u(x)=x+1 e m=-1, temos \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl((x+1)^{-1}\bigr)=-1\,(x+1)^{-2}\cdot 1=-(x+1)^{-2}, já que \displaystyle \frac{d}{dx}(x+1)=1.

Passo 5

Derivando termo a termo a expressão \displaystyle y = x+2-\frac{2}{x+1}:
  • Derivada de \displaystyle x é 1.
  • Derivada de \displaystyle 2 (constante) é 0.
  • Para \displaystyle -\frac{2}{x+1}=-2\,(x+1)^{-1}, aplicamos a regra da cadeia e do poder: \frac{d}{dx}\left[-2\,(x+1)^{-1}\right]=-2\cdot(-1)\,(x+1)^{-2}\cdot\frac{d}{dx}(x+1).Como \displaystyle \frac{d}{dx}(x+1)=1, isso vale -2\cdot(-1)\,(x+1)^{-2}=2\,(x+1)^{-2}=\frac{2}{(x+1)^{2}}.
Somando os resultados:
\displaystyle y' = 1 + 0 + \frac{2}{(x+1)^{2}} = 1 + \frac{2}{(x+1)^{2}}.

Passo 6

Verificação rápida usando a regra do quociente (opcional, só para conferir):
Se \displaystyle u(x)=x^{2}+3x e \displaystyle v(x)=x+1, então u'(x)=2x+3 e v'(x)=1. A regra do quociente diz
\displaystyle y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(2x+3)(x+1)-(x^{2}+3x)\cdot 1}{(x+1)^{2}}.
Calcule o numerador passo a passo:
(2x+3)(x+1)=2x^{2}+5x+3,
portanto
(2x+3)(x+1)-(x^{2}+3x)= (2x^{2}+5x+3)-(x^{2}+3x)=x^{2}+2x+3.
Assim
\displaystyle y'=\frac{x^{2}+2x+3}{(x+1)^{2}}.
Note que esta expressão é algebraicamente igual à anterior, porque
\frac{x^{2}+2x+3}{(x+1)^{2}}=\frac{(x+1)^{2}+2}{(x+1)^{2}}=1+\frac{2}{(x+1)^{2}}.
Logo ambas as formas coincidem — verificação concluída.

Resposta

\displaystyle y'=1+\frac{2}{(x+1)^{2}}
\displaystyle y'=\frac{x^{2}+2x+3}{(x+1)^{2}}

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