DETERMINE EXPRESSÃO EQUIVALENTE PARA [A \cap (B U C)]^{c}

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma expressão equivalente para [A \cap (B \cup C)]^{c}.
Informações dadas: conjuntos A, B, C são quaisquer conjuntos; o símbolo de complementação é o expoente {}^{c} (complemento em relação a algum universo de referência) e o símbolo de união é \cup.
Pergunta clara: transformar [A \cap (B \cup C)]^{c} numa expressão equivalente mais conveniente (por exemplo, que envolva complementos de A, B, C separadamente).

Passo 2

Definições básicas (muito importantes para entender a manipulação):
  • O elemento x pertence à interseção A\cap B se, e somente se, x\in A e x\in B ao mesmo tempo.
  • O elemento x pertence à união B\cup C se, e somente se, x\in B ou x\in C (ou ambos).
  • O elemento x pertence ao complemento A^{c} se, e somente se, x não pertence a A.
    Essas definições servem para traduzir relações entre conjuntos em condições lógicas sobre a pertença de elementos.

Passo 3

Apresentando as Leis de De Morgan (ferramenta principal aqui):
  • Para quaisquer conjuntos X e Y vale
(X\cap Y)^{c} = X^{c}\cup Y^{c}.
  • E também
(X\cup Y)^{c} = X^{c}\cap Y^{c}.
Interpretação lógica: o complemento da conjunção (e) vira disjunção (ou) dos complementos; o complemento da disjunção (ou) vira conjunção (e) dos complementos.

Passo 4

Aplicando a primeira Lei de De Morgan ao nosso caso, com X=A e Y=(B\cup C):
\bigl(A\cap (B\cup C)\bigr)^{c} = A^{c}\cup (B\cup C)^{c}.
Aqui só trocamos o complemento da interseção pela união dos complementos — ainda falta simplificar (B\cup C)^{c}.

Passo 5

Agora aplicamos a segunda Lei de De Morgan ao termo (B\cup C)^{c}:
(B\cup C)^{c} = B^{c}\cap C^{c}.
Substituindo esse resultado em \,A^{c}\cup (B\cup C)^{c}\, obtemos a forma:
A^{c}\cup (B^{c}\cap C^{c}).
Em palavras: um elemento pertence a [A\cap(B\cup C)]^{c} se, e somente se, ou ele não está em A ou (ele não está em B e não está em C).

Passo 6

Podemos também apresentar uma forma alternativa, usando a distributiva (útil em algumas provas):
A identidade distributiva
X\cup(Y\cap Z)=(X\cup Y)\cap(X\cup Z)
aplicada a X=A^{c}, Y=B^{c}, Z=C^{c} dá:
A^{c}\cup (B^{c}\cap C^{c})=(A^{c}\cup B^{c})\cap (A^{c}\cup C^{c}).
Portanto as duas formas acima são equivalentes.

Passo 7

Verificação por exemplo concreto (para fixar a ideia): tome universo \{1,2,3,4\}, A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, C=\{3,4\}.
  • B\cup C=\{2,3,4\}.
  • A\cap(B\cup C)=\{2\}.
  • Complemento \bigl(A\cap(B\cup C)\bigr)^{c}=\{1,3,4\}.
    Agora calcule A^{c}\cup (B^{c}\cap C^{c}):
  • A^{c}=\{3,4\}, B^{c}=\{1,4\}, C^{c}=\{1,2\}.
  • B^{c}\cap C^{c}=\{1\}.
  • A^{c}\cup (B^{c}\cap C^{c})=\{3,4\}\cup\{1\}=\{1,3,4\}. Confere com o resultado anterior.

Resposta

A^{c}\cup (B^{c}\cap C^{c})

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