DETERMINE EXPRESSÃO EQUIVALENTE PARA
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma expressão equivalente para
.
Informações dadas: conjuntos ,
,
são quaisquer conjuntos; o símbolo de complementação é o expoente
(complemento em relação a algum universo de referência) e o símbolo de união é
.
Pergunta clara: transformar numa expressão equivalente mais conveniente (por exemplo, que envolva complementos de
,
,
separadamente).
Informações dadas: conjuntos
Pergunta clara: transformar
Passo 2
Definições básicas (muito importantes para entender a manipulação):
- O elemento
pertence à interseção se, e somente se, e ao mesmo tempo. - O elemento
pertence à união se, e somente se, ou (ou ambos). - O elemento
pertence ao complemento se, e somente se, não pertence a .
Essas definições servem para traduzir relações entre conjuntos em condições lógicas sobre a pertença de elementos.
Passo 3
Apresentando as Leis de De Morgan (ferramenta principal aqui):
- Para quaisquer conjuntos
e vale
- E também
Interpretação lógica: o complemento da conjunção (e) vira disjunção (ou) dos complementos; o complemento da disjunção (ou) vira conjunção (e) dos complementos.
Passo 4
Aplicando a primeira Lei de De Morgan ao nosso caso, com
e
:
Aqui só trocamos o complemento da interseção pela união dos complementos — ainda falta simplificar
.
Passo 5
Agora aplicamos a segunda Lei de De Morgan ao termo
:
Substituindo esse resultado em
obtemos a forma:
Em palavras: um elemento pertence a
se, e somente se, ou ele não está em
ou (ele não está em
e não está em
).
Passo 6
Podemos também apresentar uma forma alternativa, usando a distributiva (útil em algumas provas):
A identidade distributiva
A identidade distributiva
aplicada a
,
,
dá:
Portanto as duas formas acima são equivalentes.
Passo 7
Verificação por exemplo concreto (para fixar a ideia): tome universo
,
,
,
.
-
. -
. - Complemento
.
Agora calcule: -
, , . -
. -
. Confere com o resultado anterior.